פונקציית דלתא של דיראק – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Matanyabot (שיחה | תרומות)
מ בוט החלפות: לעיתים, \1ליניארי
שורה 30:
:<math>\ \forall \ \phi : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \ : \ \delta[\phi] = \phi(0)\,
</math>
זהו פונקציונל לגיטימי הפועל על מרחב ה[[פונקציה ממשית|פונקציות הממשיות]]. פונקציונל זה אמנם [[טרנספורמציה לינאריתליניארית חסומה|חסום]] ב[[נורמת הסופרמום]] אך הוא אינו חסום (ולכן גם לא רציף) ב[[מרחב הילברט]] <math>\ L_2 </math>. יתרה מכך, הוא אינו מוגדר היטב באותו מרחב, כיוון ששם שתי פונקציות נחשבות לשוות אם הן נבדלות לכל היותר על קבוצת נקודות בעלת [[מידה אפס]], ולכן אין משמעות לערך הפונקציה בנקודה ספציפית. למרות זאת, מאחר שלפי [[משפט ההצגה של ריס]] אפשר לרשום כל פונקציונל לינאריליניארי חסום כ[[מכפלה פנימית]] (ובמרחב <math>\ L_2</math> כ[[אינטגרל]]) רושמים גם את הפונקציונל הזה כאינטגרל. זהו רק סימון נוח ואין למעשה שום פונקציה שמקיימת את השוויון.
 
אפשר גם להתייחס לפונקציית דלתא כאל [[מידה (מתמטיקה)|מידה]] באופן הבא:
שורה 104:
== שימושים ==
* ב[[פיזיקה]], פונקציית דלתא היא התיאור המתמטי (פונקציית ההתפלגות) של [[מטען חשמלי]] [[נקודה (גאומטריה)|נקודתי]] או [[מסה]] נקודתית.
* ב[[הנדסת חשמל]], [[עיבוד אותות]] ואנליזת פורייה, פונקציית דלתא (הנקראת פונקציית הלם) משמשת לביצוע מניפולציות של התמרת פורייה, ו[[מערכת לינאריתליניארית|מערכות לינאריותליניאריות]] מאופיינות על ידי התגובה שלהן להלם.
* ב[[הסתברות]], פונקציית דלתא היא [[פונקציית צפיפות]] המתארת [[התפלגות מנוונת]].
* ב[[מכניקת הקוונטים]] משתמשים לעתיםלעיתים בפונקציות דלתא כבסיס למרחב ה[[מרחב (פיזיקה)|מקום]] או ה[[תנע]]. הפונקציה הדואלית לפונקציית דלתא מוזזת היא [[גל מישורי]]: <math>\ e^{ipx/\hbar}</math>.
 
== ראו גם ==