טנזור – הבדלי גרסאות

ב[[מתמטיקה]], '''טֶנזוֹר''' (או '''טנסור''') הוא פונקציה מולטי-לינאריתליניארית. ב[[פיזיקה]] טנזור הוא מערך רב-ממדי של רכיבים המייצגים גודל פיזיקלי שיש לו טרנספורמציה מוגדרת תחת שינוי [[קואורדינטות]].

את הטנזור ניתן להגדיר כ[[העתקה לינאריתליניארית|העתקה מולטי-לינאריתליניארית]] של [[וקטור (אלגברה)|וקטורים]] ו [[פונקציונל|פונקציונלים]] אל [[שדה המספרים הממשיים]] <math>\mathbb{R}</math>. טנזור שממפה k וקטורים מ[[מרחב וקטורי]] V ו-m פונקציונלים מ[[המרחב הדואלי]] *V נקרא "טנזור מדרגה m על k". ברם, בשימושים מעשיים - בייחוד ב[[פיזיקה]] ו[[הנדסה]] - נוח לעבוד דווקא עם הרכיבים של הווקטור, המייצגים אותו ב[[קואורדינטות|מערכת קואורדינטות]] מסוימות. מערך הרכיבים של הווקטור כן תלוי בקואורדינטות ומשתנה בצורה "קו-ואריאנטית כללית" (מונח זה יוסבר בהמשך).

בעוד שטנזורים ניתנים להצגה על ידי מערכים רב-ממדיים, המטרה לקיום של תאוריה טנזורית היא לתת הסבר נוסף להשלכות הנובעות מכך שגודל מסוים ראוי להיקרא טנזור, מעבר לכך שכתיבתו דורשת מספר רכיבים המצוינים באינדקסים. בפרט, טנזורים מתנהגים בצורות מסוימות תחת [[התמרת קואורדינטות]]. התאוריה המופשטת של הטנזורים היא ענף של [[אלגברה לינאריתליניארית]].

נשים לב כי המילה "טנזור" לעתיםלעיתים מופיעה כקיצור ל[[שדה טנזורי]], שהוא ערך טנזורי המוגדר בכל נקודה ב[[יריעה]]. על מנת להבין שדות טנזוריים, יש להבין קודם לכן את העקרונות הבסיסיים של טנזורים.

פיזיקאים ומהנדסים הם מהראשונים להכיר בכך שלטנזורים חשיבות פיזיקלית כגדלים בעלי משמעות רבה יותר ממערכת הקואורדינטות (השרירותית לעתיםלעיתים קרובות) בה רכיביהם ממוספרים. באופן דומה, מתמטיקאים מוצאים כי יש יחסים טנזוריים הנגזרים ביתר קלות באמצעות סימוני הקואורדינטות.

זוהי הגישה המתמטית הרגילה, הכוללת הגדרת [[מרחב וקטורי|מרחבים וקטוריים]] מסוימים ללא קביעת כל מערכת קואורדינטות עד להצגת הבסיסים כשנידרש. וקטורים קו-וריאנטיים, למשל, ניתנים לתיאור גם כאלמנטים [[מרחב דואלי|במרחב הדואלי]] (זהו מרחב ה[[פונקציונל|פונקציונלים הלינארייםהליניאריים]] מעל המרחב הווקטורי) לווקטורים הקונטרה-וריאנטיים.

הגישה המודרנית מתייחסת לטנזורים בראש ובראשונה כעצמים מופשטים, המבטאים סוג מוגדר של מושג מולטי-לינאריליניארי. תכונותיהם המדויקות ניתנות לגזירה מהגדרותיהם, כמיפויים לינארייםליניאריים וכללי העבודה עם טנזורים עולים כהרחבה מ[[אלגברה לינאריתליניארית]] [[אלגברה מולטילינארית|לאלגברה מולטי-לינאריתליניארית]]. טיפול זה החליף באופן גורף את הגישה הקלאסית לאחר שזו סיפקה מניע בסיסי למושג וקטור. ניתן לומר כי 'טנזורים הם רכיבים של מרחב טנזורי כלשהו'.

יהי V [[מרחב וקטורי]], ויהי *V [[מרחב דואלי|המרחב הדואלי]] לו. אזי '''טנזור מדרגה m על k''' (מסומן גם כ"טנזור מדרגה <math>{m \choose k}</math> ") הוא [[העתקה לינאריתליניארית|העתקה מולטי-לינאריתליניארית]] שמקבלת m פונקציונלים (קו-וקטורים) ו-k וקטורים, ומתאימה להם [[מספר ממשי]] באופן יחיד. כלומר, זוהי פונקציה <math>\ T : (V^*)^m \times (V)^k \to \mathbb{R}</math> ש[[אלגברה לינאריתליניארית|לינאריתליניארית]] בכל אחד מהארגומנטים שלה.

קבוצת הטנזורים <math> {m \choose k} </math> מהווה [[מרחב לינאריליניארי]] ביחס לחיבור טנזורים וכפל בסקלר

הרבה פעמים נוח להציג את הטנזור כמערך רב-ממדי של רכיבים המתארים את הטנזור. אנו נראה שהצגה כזו שקולה להגדרתו כהעתקה מולטי-לינאריתליניארית. מאחר שרכיבי הטנזור תלויים בבסיס בו מייצגים את המרחב, עלינו לקבוע בסיס כלשהו למרחב הווקטורי ולמרחב הדואלי לו.

: כאשר השתמשנו בלינאריותבליניאריות של T והגדרנו <math>\ T_\mu = T( \hat{e}_\mu )</math> - אלו הם הרכיבים של הטנזור T . נשים לב שטנזור כזה הוא בעצם [[פונקציונל]] על וקטור, או '''וקטור קו-וריאנטי'''. טנזור כזה נקרא גם "חד-תבנית" או "one-form".

: כאשר השתמשנו בלינאריותבליניאריות של S והגדרנו <math>\ S^\mu = S( \hat{f}^\mu )</math> - אלו הם הרכיבים של הטנזור S. נשים לב שטנזור כזה הוא בעצם [[פונקציונל]] על פונקציונל, כלומר '''וקטור קונטרה-וריאנטי''' (זאת כי <math>\ (V^*)^* = V</math>).

: כאשר השתמשנו בלינאריותבליניאריות של R והגדרנו <math>\ R^\mu \!\ _\nu = R( \hat{f}^\mu, \hat{e}_\nu ) </math> - אלו הם הרכיבים של הטנזור R. מאחר שטנזור זה בעל שני אינדקסים ניתן להציג את רכיביו כ[[מטריצה]] אליה נוח להתייחס כאל [[העתקה לינאריתליניארית]] המקבלת וקטור v ומחזירה וקטור אחר u הנתון על ידי <math>\ \vec{u} = R( \ \, \vec{v} )</math> (שכן u מקבל פונקציונל ומחזיר לו מספר ממשי). ברכיבים: <math>\ u^\mu = \sum_{\nu}{ R^\mu \!\ _\nu v^\nu }</math> .

* ה[[יריעה]] (manifold) שמעליה הוא מוגדר (ומבנים נוספים כגון [[מטריקה]] בילינאריתביליניארית).

- איננו אינווריאנטי ותלוי בבסיס בו עובדים. מאחר שבדרך כלל מה שעובדים איתו הוא רכיבי הווקטור ולא הווקטור עצמו, כדאי לדעת כיצד הם משתנים כאשר עוברים מערכת קואורדינטות. לעתיםלעיתים קרובות, המילה "'''טנזור'''" משמשת לציין את מערך הרכיבים <math> \{ v^i \}_{i=1}^{n} </math> של הגודל האינווריאנטי ולא את הגודל עצמו.

את המסקנה לעיל אפשר להכליל באותו אופן גם עבור וקטורים קו-ואריאנטים (הם למעשה תבניות לינאריותליניאריות - [[פונקציונל|פונקציונלים]]- במרחב הדואלי למרחב המשיק) ועבור טנזורים בעלי מספר אינדקסים.

בטבע יחסים אינם תמיד לינאריםליניארים, אך רובם [[נגזרת|גזירים]] ולכן ניתנים לקירוב כסכום של מיפויים מולטילינאריים. לכן ניתן להציג ביעילות את רוב הגדלים בפיזיקה כטנזורים.

כדוגמה פשוטה, ניתן לחשוב על ספינה במים. נרצה לתאר את תגובתה ל[[כוח (פיזיקה)|כוח]]. כוח הוא וקטור, והספינה תגיב בתאוצה, שגם היא וקטור. התאוצה לא תהיה בהכרח בכיוון הכוח, מפאת צורתה המסוימת של הספינה. למרות זאת, מסתבר כי היחס בין כוח לתאוצה הוא [[אופרטור לינאריליניארי|לינאריליניארי]]. יחס כזה ניתן לתיאור כטנזור-(1,1), כלומר טנזור שהופך וקטור (טנזור מדרגה 1) לווקטור אחר (שגם הוא טנזור מדרגה 1). טנזור זה ניתן להצגה [[מטריצה|כמטריצה]] שהכפלתה בווקטור מניבה וקטור אחר. כפי שהמספרים המתארים את הווקטור ישתנו עם שינוי מערכת הצירים, כך המספרים במטריצה המיצגת את הטנזור ישתנו גם כן עם שינוי מערכת הצירים.

אם נבודד אלמנט שטח, החומר בצד אחד של המשטח יפעיל כוח על הצד השני. באופן כללי, כוח זה לא יהיה דווקא ניצב למשטח, אלא יהיה תלוי לינאריתליניארית בנטיית המשטח. ניתן לתאר זאת כטנזור-(2,0), או, ליתר דיוק, כ''שדה'' טנזורי מסוג-(2,0) משום שהמאמצים עשויים להשתנות מנקודה לנקודה.

{{אלגברה לינאריתליניארית}}