משפט השאריות הסיני – הבדלי גרסאות

רעיון ההוכחה הוא למצוא [[בסיס (אלגברה)|בסיס]] כך שמודולו <math>m_i</math> מקבלים 1 ומודולו <math>m_j</math> (כאשר <math>j \ne i</math>) מקבלים 0. כך בונים בסיס למרחב הפתרונות, והפתרון המבוקש הוא צירוף לינאריליניארי של איברי בסיס עם המקדמים החופשיים במשוואות המודולריות.

יהי <math>\ R</math> [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] עם יחידה (לאו דווקא קומוטטיבי). נניח ש[[אידאל (אלגברה)|האידאליםהאידיאלים]] <math>\ I_1,\dots,I_k</math> הם זרים בזוגות (או "מקסימליים הדדית"), כלומר <math>\ I_i+I_j = R</math> לכל <math>\ i\neq j</math>. אז [[חוג מנה|חוג המנה]] <math>\ R/(I_1 \cap \dots \cap I_k)</math> איזומורפי, לפי ההטלה הטבעית, ל[[סכום ישר|סכום הישר]] של החוגים <math>\ R/I_1 \oplus \dots \oplus R/I_k</math>. בפרט, אם R קומוטטיבי והאידאליםוהאידיאלים <math>\ I_1,\dots,I_k</math> כולם [[אידאלאידיאל מקסימלי|אידאליםאידיאלים מקסימליים]] ושונים זה מזה, אז <math>\ R/(I_1 \cap \dots \cap I_k)</math> הוא מכפלה ישרה של שדות.