פולינום מינימלי – הבדלי גרסאות

על-מנת לאפיין את הפולינום, יש לציין את חוג הבסיס או השדה שמעליו האלגברה מוגדרת: זהו החוג שממנו מותר לבחור את מקדמי הפולינום. לדוגמה, הפולינום המינימלי של ה[[מספר מרוכב|מספר המרוכב]] <math>\ a=\sqrt{2}+\sqrt{-1}</math> מעל ל[[שדה המספרים הממשיים]] הוא <math>\ x^2 - 2\sqrt{2} x + 3</math>, אבל הפולינום המינימלי מעל [[שדה המספרים הרציונליים]] הוא <math>\ x^4-2x^2+9</math>, ומעל [[שדה המספרים המרוכבים|המרוכבים]] הוא פשוט הפולינום הלינאריהליניארי: <math>\ x - (\sqrt{2}+\sqrt{-1})</math>.

== פולינום מינימלי באלגברה לינאריתליניארית ==

הפולינום המינימלי מאפשר להגדיר אינווראנטים חשובים של אלגברות מממד סופי. תהי A [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]] (אסוציאטיבית, או לכל הפחות [[אלגברה לא אסוציאטיבית]] שהיא [[אלגברה בעלת חזקות אסוציאטיביות|בעלת חזקה אסוציאטיבית בהחלט]]), מממד סופי מעל שדה F. נבחר [[בסיס (אלגברה לינאריתליניארית)|בסיס]] <math>\ b_1,\dots,b_n</math>, ונתבונן באיבר <math>\ X = x_1 b_1 + \cdots +x_n b_n</math> של האלגברה <math>\ A \otimes_F F(x_1,\dots,x_n)</math> המתקבלת מ[[הרחבת סקלרים]] מ-F לשדה הפונקציות <math>\ F(x_1,\dots,x_n)</math>. במקרה כזה, קיים פולינום מינימלי מתוקן P המאפס את X, והוא נקרא '''הפולינום המינימלי הגנרי''' של A. המעלה m של P נקראת גם ה[[דרגה (אלגברה)|דרגה]] של A.

{{אלגברה לינאריתליניארית}}