מספר מרסן – הבדלי גרסאות

 

למספרי מרסן [[ראשוני]]ים יש קשר הדוק ל[[מספר משוכלל|מספרים משוכללים]], שהם מספרים השווים לסכום מחלקיהם. מבחינה היסטורית, המחקר על מספרי מרסן בא מקשר זה: [[אוקלידס]] הראה ב[[המאה ה-4 לפנה"ס|מאה ה-4 לפנה"ס]] שאם <math>\ M_n</math> הוא מספר מרסן ראשוני אז <math>\frac{M_n(M_n+1)}{2}=2^{n-1}(2^n-1)</math> הוא מספר משוכלל. כעבור כאלפיים שנה, ב[[המאה ה-18|מאה ה-18]], הראה [[לאונרד אוילר|אוילר]] שכל המספרים המשוכללים ה[[מספר זוגי|זוגיים]] הם בתבנית זו. לא ידוע האם יש [[אינסוף]] מספרי מרסן ראשוניים. הפירוק <math>(2^a-1)\cdot (1+2^a+2^{2a}+2^{3a}+\dots+2^{(b-1)a})=2^{ab}-1</math> מראה ש-<math>\ M_n</math> יכול להיות ראשוני רק אם <math>\ n</math> עצמו ראשוני, מה שמקל במידה ניכרת על חיפוש מספרי מרסן ראשוניים. אך ההפך אינו נכון: <math>\ M_n</math> יכול להיות [[מספר פריק|פריק]] כאשר <math>\ n</math> ראשוני. לדוגמה, <math>\ 2^{11}-1=23\cdot 89</math>.