אינטגרל קווי – הבדלי גרסאות

ב[[מתמטיקה]], '''אינטגרל קווי''' (לעתיםלעיתים גם '''אינטגרל לאורך עקום''', '''אינטגרל מסלולי''' או '''אינטגרל מסילתי''') הוא [[אינטגרל]] המחושב לאורך [[מסילה (מתמטיקה)|מסילה]] במרחב, ולאו דווקא לאורך קטע ממשי. כמו האינטגרל הרגיל, האינטגרל הקווי מסכם ערכים של פונקציה נתונה ומשקלל אותם לפי אורך המסילה, באופן המכליל סיכום של מספר סופי של ערכים. הפונקציה שאת האינטגרל שלה מחשבים עשויה לקבל [[פונקציה ממשית|ערכים ממשיים]], או [[שדה וקטורי|ערכים וקטוריים]] בכל [[מרחב בנך]] (ובכלל זה [[המרחב האוקלידי]]).

האינטגרל נקרא לפעמים מ'''סוג ראשון''' כאשר הוא מסכם [[שדה סקלרי|פונקציה סקלרית]] (ממשית או [[פונקציה מרוכבת|מרוכבת]]), או מ'''סוג שני''' כאשר הוא מסכם פונקציה וקטורית. האינטגרל מהסוג השני הוא למעשה סכום של רכיבים של [[וקטור (אלגברה)|וקטור]], שרכיביו הם בעצמם אינטגרלים מהסוג הראשון. לשני הסוגים ישנן משמעויות פיזיקליות שונות, ולכן לעתיםלעיתים דרך הטיפול בהם שונה.

הצורך באינטגרל קווי עולה בעת ניתוח גדלים הקשורים בתנועה במסלול שאינו ישר, או בתכונות פיזיקליות של גוף עקום, כגון חוט דק. בדרך זו, ניתן לחשב גדלים כדוגמת [[אורך]], [[מסה]], או [[מטען חשמלי]]. האינטגרל הקווי מחשב [[כוח (פיזיקה)|כוח]] הפועל על גוף המיוצג על ידי עקום, או [[עבודה (פיזיקה)|עבודה]] של כוח המניע מסה לאורכו, כמו גם התנהגות של [[שדה (פיזיקה)|שדות]] פיזיקליים (למשל, [[שדה חשמלי]]) על פני מסלולים.

נהוג לסמן אינטגרל קווי לאורך מסלול C בסימן <math>\ \int_{C}</math>. אם C הוא מסלול סגור, מסמנים אותו לעתיםלעיתים <math>\ \oint_{C}</math>. לעתיםלעיתים מסמנים אינטגרל קווי באופן זהה לזה של [[אינטגרל לא מסוים]] או בדומה ל[[אינטגרל מסוים]], כאשר בתחתית ה-[[S ארוכה|S הארוכה]] מציינים את נקודת התחלת המסלול ובראשה את נקודת סיומו, בשני המקרים תוך ציון מילולי כי האינטגרציה נעשית לאורך העקום.

[[אינטגרציה (מתמטיקה)|אינטגרציה]] היא שיטה לחישוב גדלים על ידי סכימת אלמנטים קטנים, שגודלם שואף לאפס ומספרם [[שואף לאינסוף]]. ה[[אינטגרל#האינטגרל המסוים|אינטגרל המסוים]] של פונקציה בקטע נתון מחושב על ידי חלוקת הקטע לתת-קטעים קטנים, וסיכום כל המכפלות של ערכי הפונקציה ב"נקודה יציגה" שנבחרת בכל תת-קטע באורכי תת-הקטעים המתאימים. סכום כזה נקרא "'''סכום רימן'''", על שמו של המתמטיקאי [[ברנרד רימן]]. לעתיםלעיתים קרובות מתברר שאם מעדנים את החלוקה כך שתת-הקטעים נעשים קטנים יותר ויותר, סכומי רימן הולכים ומתקרבים לערך קבוע, ללא תלות באופן החלוקה ובנקודות שנבחרו בתת-הקטעים. במקרה כזה נקרא הערך המתקבל - "'''אינטגרל רימן'''" של הפונקציה בקטע. האינטגרל מחשב [[שטח]]: אם הפונקציה חיובית, האינטגרל שלה שווה לשטח הכלוא בין [[גרף של פונקציה|גרף הפונקציה]] לבין הציר של המשתנה שעל פיו מחושב האינטגרל.

סימון: <math>\ \vec{x}=(x_1, \cdots, x_n)</math> – זהו וקטור המקום המציג את שיעוריה של נקודה כלשהי במרחב. הפונקציה <math>\rho (\vec{x}) \in \mathbb{R}^n </math> היא [[שדה סקלרי]] במרחב בעל מספר ממדים כלשהו, ה[[תחום הגדרה|מוגדר]] ו[[פונקציה חסומה|חסום]] בתחום האינטגרציה. על פונקציה זו מתבצעת האינטגרציה. לעתיםלעיתים נקראת פונקציה זו "פונקציית הצפיפות" שכן עבור שימושים רבים של האינטגרל הקווי מסוג זה, היא מבטאת צפיפות של גודל [[פיזיקה|פיזיקלי]] מסוים. העקומה עליה תתבצע האינטגרציה תסומן באות C. על עקומה זו להיות [[פונקציה חלקה|חלקה]] למקוטעין, כלומר - מספר הנקודות בו נגזרת הפונקציה המתארת את המסילה איננה קיימת – נקודות בהן גרף הפונקציה "מחודד" – הוא סופי. ראו איור שלישי מלמעלה להמחשה.

:<math>\vec p: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n, \vec{p}=(x_1(t), \cdots, x_n(t)) </math>

כאשר <math>\ \Delta x_i</math> הוא שינוי קטן של אחד ממשתני הפרמטריזציה המגדירים את הקשת. לאחר כפל וחילוק של כל שינוי כזה ב- <math>\ \Delta t</math> ולאחר ארגון מחדש מתקבל

:<math>\Delta \ell_i = \sqrt{\left(\frac{\Delta x_1(t)}{\Delta t}\right)^2 + \cdots + \left(\frac{\Delta x_n(t)}{\Delta t}\right)^2}|\Delta t|</math>.

בהפעלת הגבול בו ערכה של החלוקה הגדולה ביותר שואף לאפס, השברים שואפים ל[[נגזרת|נגזרות]] של המשתנים המגדירים את העקומה לפי הפרמטר <math>\ t</math>. כמו כן, הערך <math>\ |\Delta t|</math> מוחלף ב[[דיפרנציאל (מתמטיקה)|דיפרנציאל]], המבטא שינוי קטן בערכו של <math>\ t</math>. כך, מתקבל

הערך של <math>\Delta \ell_i</math> שהתקבל הוא אמנם קירוב, אך ניתן להוכיח כי הגבול המתקבל עבור הערך המקורב והמקורי זהים, ולכן לצורך חישובים מעשיים ניתן להחליף את הערך המקורי בערך המקורב. באופן זה, אם בקצוות תחום האינטגרציה מקבל הפרמטר t את הערכים <math>\ t_a</math> ו- <math>\ t_b</math>, ניתן לחשב את האינטגרל הקווי על ידי הנוסחה הבאה:

בעזרת משפט גרין ניתן להוכיח את המשפט הבא, אשר נקרא לעתיםלעיתים "המשפט היסודי של האינטגרל הקווי" ומהווה הכללה של [[המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי]]:

כתוצאה של [[משפט השאריות]], מאפשר לעתיםלעיתים קרובות להשתמש באינטגרל על עקומה סגורה ב[[שדה המספרים המרוכבים|מישור המרוכב]] כדי למצוא אינטגרלים של פונקציות ממשיות של משתנה ממשי. לדוגמה ניתן לקבל בשיטה זו את [[שיטות אנליטיות לחישוב אינטגרלים מסוימים#חישוב במסלול סגור במישור המרוכב|התוצאה]]:

על ידי שימוש במשפטי סטוקס, ובפרט ב[[משפט גרין]] וב[[משפט סטוקס|משפט סטוקס במרחב]], ניתן להחליף את חישוביהם של אינטגרלים משטחיים באינטגרלים קוויים על שפתם ולהפך. כך, ניתן לפשט מספר חישובים.

כך, למשל, על סמך משפט גרין, עבור זוג פונקציות <math>\ M</math> ו- <math>\ L</math> המקיימות <math>\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}=1</math>, האינטגרל הקווי <math>\oint_{C} (L\, dx + M\, dy) </math> נותן את השטח שכולאת העקומה <math>\ C</math>. לעתיםלעיתים, חישוב זה נוח יותר מחישוב השטח באמצעות כלים אחרים (למשל, [[אינטגרל כפול]]).