הפרדת משתנים – הבדלי גרסאות

בהינתן משוואה דיפרנציאלית חלקית עבור הפונקציה <math>\psi(\vec{x}, \vec{y})</math>, ניתן "לנחש פתרון" שבו הפונקציה <math>\psi</math> ניתנת להצגה כמכפלה של שתי פונקציות <math>\psi(\vec{x}, \vec{y})=f(\vec{x})\cdot g(\vec{y})</math>. כעת, ניתן לקחת את כל הנגזרות ולעבור ל<math>\frac{\partial \psi}{\partial x_i}=g\cdot \frac{\partial f}{\partial x_i}</math> וכך בדומה לנגזרות לפי <math>y_i</math>. כעת, השאיפה שלנו היא להפעיל על המשוואה מניפולציות אלגבריות, עד שהיא מגיעה לצורה כזו: <math display="block">h_x(f, \frac{\partial f}{\partial x_i}, \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j},\frac{\partial^3 f}{\partial x_i \partial x_j \partial x_k},\dots)=h_y(g, \frac{\partial g}{\partial y_i}, \frac{\partial^2 g}{\partial y_i \partial y_j},\frac{\partial^3 g}{\partial y_i \partial y_j \partial y_k},\dots)</math>. מדוע זה טוב לנו? מפני שהפונקציה באגף שמאל תלויה אך ורק בx, והפונקציה באגף ימין תלויה אך ורק בy. אם כך, אנחנו מקבלים שאגף שמאל לא יכול להיות תלוי בx - הרי שינוי של x בלבד ישפיע על אגף שמאל ולא על אגף ימין, אבל אז לא ייתכן שהם יישארו שווים. לכן שני האגפים שווים שניהם לקבוע שמכונה "'''קבוע ההפרדה'''". כעת, הפרדת המשתנים העבירה אותנו ממשוואה אחת ב"הרבה" נעלמים, לשתי משוואות עם פחות נעלמים בכל אחת. אם נמשיך לבצע הפרדות משתנים נגיע לבסוף למד"ר.