מרחב אפיני – הבדלי גרסאות

נוספו 11 בתים ,  לפני 4 שנים
סקריפט החלפות (ליניארי)
(סקריפט החלפות (ליניארי))
ב[[מתמטיקה]], '''מרחב אפיני''' הוא [[גאומטריית חילה|גאומטריה]] עם נקודות וישרים, המקיימת כמה אקסיומות פשוטות. למרחב אפיני יש [[ממד (מתמטיקה)|ממד]], ומרחב מממד 2 נקרא [[מישור אפיני]]. המרחב האפיני מכליל כמה מהתכונות של [[מרחב אוקלידי]]. במרחב אפיני ניתן להוסיף [[וקטור (אלגברה)|וקטור]] ל[[נקודה (גאומטריה)|נקודה]] כדי לקבל נקודה, להפחית נקודה מנקודה כדי לקבל וקטור, אך לא לחבר נקודות. בפרט, כל נקודה יכולה לתפקד באותה מידה כ[[ראשית הצירים]]. הדוגמה הקלאסית למרחב אפיני היא אוסף הנקודות במ[[מרחב וקטורי]] מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] (או [[חוג עם חילוק]]), עם ההזזות של תת-מרחבים חד-ממדיים כישרים.
 
== הגדרה ==
מנקודת המבט של [[גאומטריית חילה]], מרחב אפיני הוא גאומטריה שיש בה שני טיפוסים, נקודות וישרים, עם יחס חילה ביניהם. מערכת של נקודות וישרים נקראת '''מרחב לינאריליניארי''' אם דרך כל שתי נקודות x,y עובר ישר יחיד xy, ויש לפחות שתי נקודות על כל ישר ולפחות שני ישרים. [[יחס שקילות]] על הישרים של מרחב לינאריליניארי נקרא '''יחס הקבלה''' אם לכל ישר g ולכל נקודה x, יש ישר יחיד הכולל את x ומתייחס ל-g. במרחב לינאריליניארי L עם יחס הקבלה, תת-מרחב U הוא '''סגור להקבלה''' אם לכל ישר g ונקודה ב-U, הישר המקביל ל-g דרך הנקודה מוכל כולו ב-U. תת-מרחב של L נקרא '''תת-מרחב אפיני''' אם הוא סגור להקבלה. החיתוך של תת-מרחבים אפיניים הוא תת-מרחב אפיני, וכך מוגדר תת-המרחב האפיני הנוצר על ידי קבוצת נקודות S, כחיתוך כל תת-המרחבים האפיניים המכילים אותה.
 
'''מרחב אפיני''' הוא מרחב לינאריליניארי שיש עליו יחס הקבלה, כך שכל תת-מרחב אפיני הנוצר על ידי שלוש נקודות שאינן על ישר אחד, מהווה מישור אפיני. במרחב אפיני שבו יש שלוש נקודות על כל ישר, כל תת-מרחב הוא תת-מרחב אפיני (אבל יש מרחבים אפיניים שבהם שתי נקודות על כל ישר, ושם כל תת-קבוצה של הנקודות מהווה תת-מרחב, וחלק מאלו אינם אפיניים).
 
מרחב לינאריליניארי המקיים את [[אקסיומת המקבילים]] (דרך כל נקודה שאינה על ישר t, עובר ישר יחיד שאינו נחתך עם t) נקרא '''מישור אפיני'''. מרחב לינאריליניארי שכל המישורים בו אפיניים מהווה מרחב אפיני, בתנאי שעל כל ישר יש לפחות ארבע נקודות (משפט Buekenhout).
 
== הקשר למרחבים פרויקטיביים ==
=== מורפיזמים ===
 
העתקה חד-חד-ערכית ועל מקבוצת הנקודות של מרחב אפיני לקבוצת הנקודות של מרחב לינאריליניארי נקראת '''קולינאציה''' אם היא מעבירה ישרים לישרים, ו'''קולינאציה שומרת הקבלה''' אם ישרים מקבילים עוברים לישרים מקבילים. אם על כל ישר יש לפחות שלוש נקודות, אז קולינאציה שומרת תמיד הקבלה. כל קולינאציה שומרת הקבלה משרה העתקה חד-חד-ערכית ועל בין קבוצות הישרים של המרחבים, ומעבירה תת-מרחבים לתת-מרחבים. כמו כן היא שומרת תת-מרחבים אפיניים, ושומרת על בסיסים וממדים. מרחבים אפיניים שיש ביניהם קולינאציה הם '''איזומורפיים'''. קולינאציה בין מרחבים פרויקטיביים משרה קולינאציה בין מרחבים אפיניים המתקבלים מהם על ידי הסרת על-מישור, ולהפך, קולינאציה בין מרחבים אפיניים משרה קולינאציה בין המרחבים הפרויקטיביים שהם מגדירים.
 
קולינאציה שומרת הקבלה a ממרחב אפיני לעצמו היא '''הזזה''' אם יש מחלקת הקבלה שהישרים שלה נשמרים, ואין ל-a נקודות שבת (גם הזהות נקראת הזזה). קולינאציה שומרת הקבלה היא '''הומולוגיה''' אם יש לה '''נקודת מרכז''' (נקודה שכל ישר העובר דרכה נשמר תחת a). קולינאציה מאחד משני הסוגים האלו נקראת '''קולינאציה מרכזית'''.
 
==ראו גם==
 
* [[מרחב פרויקטיבי]]
* [[גאומטריית חילה]]