מסילה (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
+לולאה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 5:
שְמן מגיע מן העובדה, שניתן לחשוב על מסילות אל ה[[מרחב אוקלידי|מרחב האוקלידי]] כמסלולי טיול רציפים במרחב; אל ה[[נקודה (גאומטריה)|נקודות]] בקטע המקור מתייחסים כמייצגות [[זמן]] והנקודות על [[תמונה (מתמטיקה)|תמונת]] המסילה מייצגות את המיקום במרחב בזמן הנתון. למשל, המסילה: <math>\ \gamma : [0,2\pi]\rightarrow X</math>, המוגדרת לפי ההתאמה: <math>\ \gamma(t) = (\cos t, \sin t)</math> היא מסילה המייצגת טיול סביב [[מעגל היחידה]] ב[[מישור (גאומטריה)|מישור]], כשבזמן t נמצאים ב[[זווית]] t [[רדיאנים]] ביחס ל[[מערכת צירים קרטזית#מערכת צירים דו-ממדית|ציר ה-<math>\ x</math>]].
סוג מיוחד של מסילה מכונה '''לולאה''' או '''מסילה סגורה''', והיא מוגדרת כמסילה שמקבלת את אותם ערכים על קצוות הקטע. כך המסילה שבדוגמה הקודמת היא לולאה, שכן הפונקציות הטריגונומטריות הן [[פונקציה מחזורית|פונקציות מחזוריות]] בעלות מחזור <math>2\pi</math>. באופן שקול, ניתן לחשוב על לולאה כעל פונקציה רציפה מהצורה <math>\gamma: S^1 \to X</math>, כאשר <math>S^1</math> הוא [[מעגל היחידה]]. מסילה שאינה "מבקרת" פעמיים באותה נקודה (פרט אולי לנקודות הקצה), כלומר היא אינה חותכת עצמה, כלומר היא [[חד חד ערכית]], נקראת '''מסילה פשוטה'''. ללולאות פשוטות יש תכונה בסיסית המתוארת ב[[משפט העקום של ז'ורדן]], לפיה הן מחלקות את המישור לשני רכיבית [[קשירות]]: פנימי וחיצוני. למרות שקביעה זו אינטואיטיבית למדי, ההוכחה לה אינה פשוטה כל כך.
מסילה, שתחומה הוא [[מרחב נורמי]] נקראת '''מסילה דיפרנציאבילית''', אם היא [[פונקציה גזירה ברציפות|גזירה ברציפות]] בכל הקטע; '''מסילה דיפרנציאבילית למקוטעין''' היא מסילה שגזירה ברציפות בכל הקטע, למעט מספר סופי של נקודות.
ב[[אנליזה מרוכבת]], יש חשיבות למספר הפעמים שמסילה נתונה ב[[המישור המרוכב|מישור המרוכב]] מקיפה נקודה שאיננה על המסילה. מספר זה נקרא '''האינדקס''' של המסילה ביחס לנקודה, והוא מוגדר על-פי הנוסחה: <math>\ n(\gamma,a)=\frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{1}{z-a}\, dz</math>, המחזירה [[מספר שלם]] עבור כל מסילה דיפרנציאבילית וסגורה. אם המסילה נעה נגד [[כיוון השעון]], האינדקס יהיה [[מספרים חיוביים ושליליים|חיובי]], בעוד שהאינדקס של המסילה ההפוכה: <math>\ t\mapsto \gamma(1-t)</math>, יהיה [[מספרים חיוביים ושליליים|שלילי]].
| |||