סדרת מאייר-ויאטוריס – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 18:
כאשר <math>H_n^{\{U,V\}}(X)</math> היא [[הומולוגיה של מרחב טופולוגי#ההומולוגיה הסינגולרית ביחס לכיסוי|חבורת ההומולוגיה ביחס לכיסוי]].
'''משפט מאייר-ויאטוריס''' קובע כי העתקת ההכלה <math>i:C_n^{\{U,V\}}(X) \to C_n(X)</math> משרה [[העתקה טבעית|איזומורפיזם טבעי]] של חבורות <math>i_*: H_n^{\{U,V\}}(X) \to H_n(X)</math>, ולכן (אם מרכיבים הומומורפיזם זה בדיאגרמה) מתקבלת '''סדרת מאייר-ויאטוריס''':
<center>
<math>\dots \longrightarrow H_n(U \cap V) \longrightarrow H_n(U) \oplus H_n(V) \longrightarrow H_n(X) \longrightarrow H_{n-1}(U \cap V)\longrightarrow \dots</math>
שורה 28:
</center>
===טבעיות===
האיזומורפיזם <math>i_*: H_n^{\{U,V\}}(X) \to H_n(X)</math> שהוזכר לעיל הוא למעשה [[
[[קובץ:Mayer-Vietoris naturality.png|מרכז|750px]]
שורה 37 ⟵ 38:
==דוגמאות==
===ספירות===
[[קובץ:SphereCoverStriped.png|שמאל|ממוזער|כיסוי טוב של ה[[ספירה (גאומטריה)|ספירה]] <math>S^2</math>]]
נוכיח שחבורות ההומולוגיה של ה'''[[ספירה (גאומטריה)|ספירות]] הן
<center>
שורה 49 ⟵ 53:
כלומר יש איזומורפיזם, ומסיימים באינדוקציה.
נובעות מכך המסקנות הבאות:
#
# [[משפט נקודת השבת של בראוור]]
===שיקופים, נקודות שבת ושדות וקטוריים===
בסעיף זה נראה טענות מ[[גאומטריה דיפרנציאלית]] בעזרת הטבעיות של סדרת מאייר-ויאטוריס.
ניישם את הטבעיות למקרה לעיל של הספירות; נוכיח כי השיקוף <math>R_i:S^n\to S^n , ^n R_i(x_1\dots,x_n)=(x_1,\dots,-x_i,\dots,x_n)</math>, משרה את <math>-\operatorname{id}</math> על חבורת ההומולוגיה. ההוכחה באינדוקציה - הטענה עבור <math>n=0</math> ברורה; כעת, נחלק את הספירה לכיסוי טוב כלעיל, אך נדאג ש-<math>A,B</math> לא יבחרו בציר השיקוף <math>i</math> (כדי שהשיקוף יכבד את הכיסוי); נשתמש בטבעיות:
שורה 73 ⟵ 78:
לכל הטענות יש דוגמה נגדית כאשר <math>n</math> אי-זוגי.
n-זר של ספירות הוא איחוד נקודתי שלהן - <math>S^{k_1} \vee \dots \vee S^{k_n}</math>. בעזרת סדרת מאייר ויאטוריס ואינדוקציה ניתן להראות שמתקיים
<center>
שורה 80 ⟵ 86:
כלומר, זו חבורה אבלית חופשית מסדר כמספר הממדים של הספרות ששווה לסדר החבורה.
▲===משטחים סגורים===
את הסעיף הקודם ניתן להכליל ולחשב את חבורות ההומולוגיה של כל ה[[משטח סגור|משטחים הסגורים]]: ממיונם ידוע שהם כוללים את הספירות, ה-[[טורוס#n-טורוס nT|n-טורוסים]] וה-[[מרחב פרויקטיבי ממשי#n-מישור פרויקטיבי|n-מישורים פרויקטיביים]].
כדי להשתמש בסדרת מאייר-ויאטוריס, ניקח את <math>U</math> להיות עיגול קטן על ה-<math>n</math>-טורוס, ואת <math>V</math> להיות כל השאר, עם טבעת חפיפה (כמו ב[[משפט ואן קמפן]]). אז נקבל <math>V \cong * , U \cap V \cong S^1</math>; התיאור של <math>U</math> הוא גאומטרי - לאחר הוצאת דיסק מהטורוס ניתן להרחיב את החור סביב הכיוונים האופקי והאנכי, ואז מקבלים מרחב השקול ל-<math>2n</math>-זר, וההומולוגיה שלו חושבה בסעיף לעיל. אם כן הסדרה היא
<center>
שורה 89 ⟵ 96:
\cdots \longrightarrow \begin{matrix} 0 \\ \tilde { H } _{ 3 }(U\cap V) \end{matrix}\longrightarrow \begin{matrix} 0 \\ \tilde { H } _{ 3 }(U)\oplus \tilde { H } _{ 3 }(V) \end{matrix}\longrightarrow \begin{matrix} 0 \\ \tilde { H } _{ 3 }(X) \end{matrix}\longrightarrow
</math>
<math>
\longrightarrow \begin{matrix} 0 \\ \tilde { H } _{ 2 }(U\cap V) \end{matrix}\longrightarrow \begin{matrix} 0 \\ \tilde { H } _{ 2 }(U)\oplus \tilde { H } _{ 2 }(V) \end{matrix}\longrightarrow \begin{matrix} \mathbb{Z} \\ \tilde { H } _{ 2 }(X) \end{matrix}\longrightarrow
</math>
<math>
שורה 100 ⟵ 105:
</math>
</center>
כאשר את ההעתקה <math>\tilde { H } _{ 1 }(U\cap V) \to \tilde{H}_{1}(V)</math> מבינים לפי ההערה לעיל על הטבעיות - ההעתקה המקבילה עבור החבורה היסודית היא (כאמור בחישוב המקביל בערך על משפט ואן קמפן) <math>a \mapsto [a_1,b_1] \cdot \dots \cdot [a_n,b_n]</math>, ובמקרה שלנו החבורות אבליות ולכן ההעתקה היא אכן העתקת האפס. שאר החישוב הוא לפי דיוק הסדרה.
===
החלוקה לסביבות היא בדיוק כמו ב-<math>n</math>-טורוס. במקרה זה, ההעתקה החשובה שנורשת מהחישוב של החבורה היסודית היא <math>a \to a_1^2 \dots a_n^2</math>, והחבורות הן:
<center>
שורה 109 ⟵ 116:
===מתיחה של מרחב===
ה[[מתיחה (טופולוגיה)|מתיחה]] של מרחב טופולוגי <math>X</math> מוגדרת להיות <math>SX = (X \times I)/\{(x_1,0)\sim(x_2,0),(x_1,1)\sim(x_2,1) \mbox{ for all } x_1,x_2 \in X\}</math>. ההומולוגיה של המתיחה עולה מדרגה אחת מההומולוגיה של המרחב עצמו, כלומר <math>\tilde{H}_n(X) = \tilde{H}_{n+1}(SX)</math>. טענה זו מוכיחים בעזרת סדרת מאייר-ויאטוריס - נגדיר
<center>
שורה 120 ⟵ 128:
===משפט העקומה של ז'ורדן===
[[משפט העקומה של ז'ורדן]] קובע כי עקומה סגורה רציפה במישור מחלקת אותו לשני חלקים, כלומר לשני [[מרחב קשיר#רכיבי קשירות|רכיבי קשירות]].
שורה 125 ⟵ 134:
==הומולוגיה של מרחב CW==
סדרת מאייר-ויאטוריס היא כלי חשוב העוזר בפיתוח שיטה כללית ואלגוריתמית לחישוב כל חבורות ההומולוגיה של [[מרחבי CW]] סוף-ממדיים מסוימים. יש שימושים חוזרים ונשנים בסדרת מאייר-ויאטוריס בהוכחת השיטה.
| |||