הבדלים בין גרסאות בדף "הפרדת משתנים"

נוספו 8 בתים ,  לפני שנתיים
מ
בוט החלפות: לעיתים, \1ליניארי
מ (בוט החלפות: לעיתים, \1ליניארי)
 
בהינתן משוואה דיפרנציאלית חלקית עבור הפונקציה <math>\psi(\vec{x}, \vec{y})</math>, ניתן "לנחש פתרון" שבו הפונקציה <math>\psi</math> ניתנת להצגה כמכפלה של שתי פונקציות <math>\psi(\vec{x}, \vec{y})=f(\vec{x})\cdot g(\vec{y})</math>. כעת, ניתן לקחת את כל הנגזרות ולעבור ל<math>\frac{\partial \psi}{\partial x_i}=g\cdot \frac{\partial f}{\partial x_i}</math> וכך בדומה לנגזרות לפי <math>y_i</math>. כעת, השאיפה שלנו היא להפעיל על המשוואה מניפולציות אלגבריות, עד שהיא מגיעה לצורה כזו: <math display="block">h_x(f, \frac{\partial f}{\partial x_i}, \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j},\frac{\partial^3 f}{\partial x_i \partial x_j \partial x_k},\dots)=h_y(g, \frac{\partial g}{\partial y_i}, \frac{\partial^2 g}{\partial y_i \partial y_j},\frac{\partial^3 g}{\partial y_i \partial y_j \partial y_k},\dots)</math>מדוע זה טוב לנו? מפני שהפונקציה באגף שמאל תלויה אך ורק בx, והפונקציה באגף ימין תלויה אך ורק בy. אם כך, אנחנו מקבלים שאגף שמאל לא יכול להיות תלוי בx - הרי שינוי של x בלבד ישפיע על אגף שמאל ולא על אגף ימין, אבל אז לא ייתכן שהם יישארו שווים. לכן שני האגפים שווים שניהם לקבוע שמכונה "'''קבוע ההפרדה'''". כעת, הפרדת המשתנים העבירה אותנו ממשוואה אחת ב"הרבה" נעלמים, לשתי משוואות עם פחות נעלמים בכל אחת. אם נמשיך לבצע הפרדות משתנים נגיע לבסוף למד"ר.
עם זאת, נשים לב שהפרדת משתנים פוגעת כמעט תמיד בכלליות הפתרונות - למשל, ב[[משוואת שרדינגר]], כל פונקציית גל חוקית מקיימת את המשוואה אבל הפרדת משתנים מצמצמת אותנו לפונקציות העצמיות של ההמילטוניאן כפול פונקציה זמנית. עם זאת, לעתיםלעיתים (כמו במשוואת שרדינגר) כל פתרון למשוואה ניתן להצגה כסכום של פתרונות המתקבלים מהפרדת המשתנים. במקרה זה לא הפסדנו הרבה.
 
== דוגמאות לשימוש בהפרדת משתנים ==
כלומר: פעולת אופרטור ההמילטוניאן עליהן פשוט מחזירה את הפונקציה כפול ה[[אנרגיה]] שלה. אנרגיות אלה (שהן [[ערך עצמי|הערכים העצמיים]] של המד"ר) נקראות "האנרגיות העצמיות" ואילו הפונקציות המתאימות להן נקראות "המצבים העצמיים". נעיר שאת המצבים העצמיים נהוג ל[[וקטור יחידה|נרמל]], כלומר - לכפול במקדם [[סקלר (מתמטיקה)|סקלרי]] כך ש <math> \lang \Psi_n | \Psi_n \rang = 1</math> . דרישת הנרמול נובעת מהפירוש ה[[הסתברות]]י של [[מכניקת הקוונטים]].
 
מאחר שזו משוואה [[אלגברה לינאריתליניארית|לינאריתליניארית]], את הפתרון הכללי אפשר להציג כ[[סופרפוזיציה]] של המצבים העצמיים, כלומר:
 
::: <math> \psi (t,\vec{r}) = \sum_{n}{ A_n \Psi_n (\vec{r}) e^{-\frac{i}{\hbar}E_n t}}</math>
 
במקרה של משוואת שרדינגר, ניתן להשתמש בדרישה שעל ההמילטוניאן להיות הרמיטי, ולכן להסיק כי אכן, צירופים לינארייםליניאריים כאלו מכסים את כל הפתרונות.
נשים לב שההפרדה פה לא קידמה אותנו "עד הסוף" שכן נותרנו עדיין עם משוואה בשלושה ממדים - אך פעמים רבות ניתן להפריד בה משתנים שוב.
[[קטגוריה:משוואות דיפרנציאליות]]