ויקיפדיה

משוואה דיפרנציאלית רגילה – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
Matanyabot (שיחה | תרומות)
475,756 עריכות
מ בוט החלפות: מחל\1 מידבק\2
Matanyabot (שיחה | תרומות)
475,756 עריכות
מ בוט החלפות: לעיתים, \1ליניארי
שורה 26:
עבור משוואות מסדר ראשון קיים [[משפט הקיום והיחידות (משוואות דיפרנציאליות)|משפט קיום ויחידות]] המבטיח עבור אוסף רחב של משוואות כי לכל תנאי התחלה קיים פתרון והוא יחיד.
 
===משוואות לינאריותליניאריות מסדר ראשון===
[[משוואה דיפרנציאלית לינאריתליניארית|משוואה לינאריתליניארית]] מסדר ראשון היא משוואה מהצורה <math>\ y'+h(x)y+g(x)=0</math>. כלומר, הן הפונקציה והן נגזרתה מופיעות לבדן ולא כחלק מפונקציה מורכבת (למשל <math>\ \ln(y)</math>). הפונקציה הנעלמת מוכפלת בפונקציה כלשהי של <math>\ x</math> ופונקציה נוספת של <math>\ x</math> היא "גורם חופשי" של המשוואה.
 
משוואות לינאריותליניאריות ניתנות תמיד לפתרון, והדרך לפתרונן קבועה ופשוטה.
 
אם <math>\ g(x)\equiv 0</math>, כלומר המשוואה היא מהצורה <math>\ y'+h(x)y=0</math>, המשוואה נקראת "משוואה לינאריתליניארית הומוגנית". יש לשים לב שאין קשר בין משוואה דיפרנציאלית '''לינאריתליניארית''' הומוגנית ובין משוואה דיפרנציאלית הומוגנית - זהו שם דומה שניתן לשני סוגים שונים של משוואות.
 
===גידול ודעיכה מעריכית===
{{ערך מורחב|דעיכה מעריכית}}
 
מקרה פרטי של משוואה לינאריתליניארית לא-הומוגנית מסדר ראשון הוא: <math>\ y'+by=c</math>, כאשר b ו-c קבועים. פתרון המשוואה ניתן לכתיבה כסכום של פתרון הומוגני ופתרון פרטי (לא-הומוגני): <math>\ y = ke^{-bt} + c/b</math>, כאשר k קבוע כלשהו. זוהי [[דעיכה מעריכית]] לערך קבוע, והיא נפוצה בטבע.
 
גידול ודעיכה מעריכית נפוצים בתחומי מדע רבים משום שתופעות רבות מקיימות בקירוב משוואה דיפרנציאלית זו. [[משוואות לוטקה-וולטרה]], למשל, משמשות לחקר האוכלוסיות ב[[ביולוגיה]]. במעגלים חשמליים כמו [[מעגל RC]] או RL (המכונים מעגלים מסדר ראשון) זהו [[מתח חשמלי]]. ריכוז המגיבים ב[[תגובה כימית]] מסדר ראשון ושל חומרים העוברים התפרקות [[רדיואקטיביות|רדיואקטיבית]] וכמו כן ה[[טמפרטורה]] של [[חוק הקירור של ניוטון|גוף חם בסביבה קרה]] גם הם גדלים או דועכים באופן [[פונקציה מעריכית|מעריכי]].
שורה 68:
 
===משוואת ברנולי===
משוואה דיפרנציאלית מהצורה <math>\ y'+p(x)y=q(x)y^n</math> נקראת '''משוואת ברנולי''' (על שם המתמטיקאי [[יאקוב ברנולי]]). משוואה שכזו ניתן לפתור על ידי ההצבה <math>\ z=y^{1-n}</math>, שממנה מקבלים את המשוואה הלינאריתהליניארית <math>\ z'+(1-n)p(x)z=(1-n)q(x)</math>.
 
==משוואות מסדר שני==
באופן כללי, משוואה מסדר שני מתוארת על ידי הפונקציה <math>\ F\left(y,y',y'',x\right)=0</math>. משוואות מסדר שני קשות לפתרון יותר מאשר משוואות מסדר ראשון, אך קיימות שיטות פתרון יעילות עבור משוואות '''לינאריותליניאריות''' מסדר שני. שיטות אלו הן מקרים פרטיים של השיטות הכלליות לטיפול במשוואה לינאריתליניארית מסדר כלשהו, אך בשל פשטותן היחסית הן יותר קלות לשימוש ולהבנה מאשר השיטות הכלליות.
 
===משוואות לינאריותליניאריות הומוגניות מסדר שני===
[[משוואה דיפרנציאלית לינאריתליניארית|משוואה לינאריתליניארית]] הומוגנית מסדר שני היא משוואה מהצורה <math>\ y''+p(x)y'+q(x)y=0</math>. סכום וכפל בקבוע של פתרונות משוואה זו הם פתרונות בעצמם, ולכן, הפתרונות מהווים [[מרחב וקטורי]], וניתן למצוא בסיס למרחב זה. כלומר, בהינתן שני פתרונות פרטיים [[תלות לינאריתליניארית|בלתי תלויים]] של המשוואה, כל צירוף לינאריליניארי שלהם מהווה בעצמו פתרון שלה.
[[תנאי הכרחי ומספיק]] לכך ששני פתרונות יהוו בסיס מובע באמצעות מטריצה של הפונקציות ונגזרותיהן הראשונות, הנקראת [[ורונסקיאן]].
 
קיימת שיטה כללית שמאפשרת, בהינתן פתרון אחד למשוואה ההומוגנית, למצוא פתרון בלתי תלוי בו. על כן, כדי לפתור משוואה הומוגנית לינאריתליניארית מסדר שני, די למצוא פתרון אחד (אבל גם זה יכול להיות קשה מאוד לעתיםלעיתים).
 
כאשר הפונקציות <math>\ p(x),q(x)</math> הן קבועים, כלומר המשוואה היא מהצורה <math>\ y''+ay'+by</math>, פתרונות המשוואה הם מהצורה <math>\ e^{\lambda x}</math>, כאשר <math>\ \lambda</math> הוא [[שורש (של פונקציה)|שורש]] של ה[[פולינום]] <math>\ x^2+ax+b</math> (פולינום זה מכונה '''הפולינום האופייני של המשוואה'''). אם לפולינום שני שורשים שונים, שני הפתרונות שהם נותנים הם בלתי תלויים. אם יש רק שורש יחיד, <math>\ xe^{\lambda x}</math> הוא פתרון בלתי תלוי. אם השורשים הם [[מספר מרוכב|מספרים מרוכבים]], ניתן על ידי חיבורם או חיסורם וחלוקה בקבוע לקבל שני פתרונות בלתי תלויים ממשיים - אם <math>\ \lambda\pm i\mu</math> הם השורשים, מקבלים את הפתרונות <math>\ e^{\lambda x}\sin(\mu x),e^{\lambda x}\cos(\mu x)</math>.
 
=== משוואות לינאריותליניאריות אי-הומוגניות מסדר שני ===
[[משוואה דיפרנציאלית לינאריתליניארית|משוואה לינאריתליניארית]] אי-הומוגנית מסדר שני היא משוואה מהצורה <math>\ y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)</math> כאשר <math>r(x)\not\equiv 0</math>. בניגוד למשוואות הומוגניות מסדר שני, סכום וכפל בקבוע של פתרונות של משוואה זו אינם בהכרח פתרונות בעצמם (למעשה ניתן להראות שאם <math>\ y_1(x)</math> ו-<math>\ y_2(x)</math> הם פתרונות של המשוואה אז <math>\ ay_1(x)+by_2(x)</math> הוא גם כן פתרון אם ורק אם מתקיים <math>\ a+b=1</math> ). פתרון כללי של משוואה דיפרנציאלית לינאריתליניארית אי-הומוגנית מסדר שני מתקבל בעזרת הפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית המתאימה (המשוואה שבה <math>r(x)\equiv 0</math>) על ידי כך שמחברים לפתרון זה גם פתרון פרטי של המשוואה האי-הומוגנית.
 
==משוואות מסדר n==
שורה 88:
ניתן להראות כי כל משוואה דיפרנציאלית מסדר <math>\ n</math> ניתנת להצגה כמערכת של <math>\ n</math> משוואות דיפרנציאליות מסדר 1.
 
===משוואות לינאריותליניאריות מסדר n===
[[משוואה דיפרנציאלית לינאריתליניארית|משוואה לינאריתליניארית]] מסדר <math>\ n</math> היא משוואה מהצורה <math>\ y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_2(x)y''+a_1(x)y'+a_0(x)y=b(x)</math>. כאשר <math>\ b(x)\equiv 0</math> המשוואה היא הומוגנית וכאשר <math>\ b(x)\not\equiv 0</math> המשוואה היא לא הומוגנית (או אי-הומוגנית).
 
ניתן להכליל את השיטות שבהם משתמשים כדי לפתור משוואה לינאריתליניארית מסדר שני כך שיוכלו לשמש לפתרון משוואות מסדר <math>\ n</math>. בדומה למשוואות לינאריותליניאריות הומוגניות מסדר שני, סכום וכפל בקבוע של פתרונות של משוואה לינאריתליניארית הומוגנית מסדר <math>\ n</math> הם פתרונות בעצמם. כמו כן, בדומה למשוואות לינאריותליניאריות אי-הומוגניות מסדר שני, גם במקרה הכללי (של משוואות מסדר <math>\ n</math>) ניתן לקבל את הפתרון הכללי של המשוואה הלינאריתהליניארית האי-הומוגנית על ידי כך שמחברים פתרון פרטי של המשוואה האי-הומוגנית לפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית המתאימה
(המשוואה שבה <math>\ b(x)\equiv 0</math>) כאשר את הפתרון הפרטי למשוואה האי-הומוגנית מוצאים בשיטות דומות לאלו שמשתמשים בהם במקרה של משוואה מסדר שני.
 
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/משוואה_דיפרנציאלית_רגילה"