אידיאל ראשוני – הבדלי גרסאות

ב[[מתמטיקה]], '''אידאלאידיאל ראשוני''' הוא [[אידאל (אלגברה)|אידאלאידיאל]] שאינו יכול להכיל מכפלה של שני אידאליםאידיאלים בלי להכיל אחד מהם. הגדרה זו מכלילה את התכונה הבסיסית של [[מספר ראשוני|מספרים ראשוניים]] ב[[חוג המספרים השלמים]]: מספר ראשוני אינו מחלק מכפלה בלי לחלק את אחד הגורמים שלה. לאידאליםלאידיאלים הראשוניים, ול[[חוג ראשוני|חוגים הראשוניים]] לצידם, תפקיד חשוב בתורת המבנה של החוגים בשל הזמינות של טיעונים אינדוקטיביים הכרוכים בהם. בפרט, בחוגים קומוטטיביים, אפשר לתרגם טענות [[גאומטריה אלגברית|גאומטריות]] לטענות על אידאליםאידיאלים ראשוניים, ולהפך. בהקשר זה יש חשיבות רבה לאורך המקסימלי של שרשרת של אידאליםאידיאלים ראשוניים, הקרוי [[ממד קרול]].

אידאלאידיאל (אמיתי, היינו שאינו שווה לכל החוג) P נקרא '''ראשוני''' אם לכל שני אידאליםאידיאלים A ו-B, מההכלה <math>\ AB \subseteq P</math> נובע <math>\ A\subseteq P</math> או <math>\ B \subseteq P</math>. זה שקול לכך שחוג המנה <math>\ R/P</math> הוא [[חוג ראשוני|ראשוני]]. עבור אידאלאידיאל בחוג קומוטטיבי, אפשר להגדיר גם לפי איברים: P ראשוני אם מ-<math>\ ab \in P</math> נובע ש<math>\ a\in P</math> או <math>\ b \in P</math>.

בחוג קומוטטיבי R, אידאלאידיאל האפס הוא ראשוני אם ורק אם החוג הוא [[תחום שלמות]], ובאופן כללי יותר, האידאלהאידיאל P ראשוני אם ורק אם [[חוג מנה|חוג המנה]] R/P הוא תחום שלמות. [[אידאלאידיאל ראשי]] <math>\ Rp</math> בתחום שלמות הוא ראשוני אם ורק אם האיבר p ראשוני. בפרט, האידאלהאידיאל <math>\ \mathbb{Z}n</math> ראשוני ב[[חוג המספרים השלמים]] אם ורק אם n מספר ראשוני.

כל [[אידאלאידיאל מקסימלי]] הוא ראשוני, אבל ההפך אינו נכון, משום שקיימים תחומי שלמות שאינם שדות (וחוגים ראשוניים שאינם פשוטים).

בחוג קומוטטיבי, האיחוד על פני שרשרת של אידאליםאידיאלים ראשוניים הוא אידאלאידיאל ראשוני. לעומת זאת, במקרה הלא קומוטטיבי הטענה איננה נכונה.

בחוג קומוטטיבי R, אידאלאידיאל P הוא ראשוני אם ורק אם המשלים שלו סגור לכפל, ולכן הוא [[מונואיד]]. כך אפשר לבצע [[מיקום (תורת החוגים)|מיקום]] של החוג ביחס לאותו אידאלאידיאל; החוג המתקבל <math>\ R_P</math>הוא [[חוג מקומי]], שהאידאליםשהאידיאלים שלו מתאימים לאידאליםלאידיאלים המוכלים ב-P; בפרט, האידאלהאידיאל המתאים ל-P הוא האידאלהאידיאל המקסימלי היחיד.

אידאליםאידיאלים ראשוניים הופיעו לראשונה בתורת המספרים האלגברית, בניסיון להכליל את [[המשפט היסודי של האריתמטיקה]] על פירוק יחיד של מספר שלם לגורמים ראשוניים, לחוגי מספרים כללים יותר. פירוק כזה היה נחוץ לצורך הוכחת [[המשפט האחרון של פרמה]]. [[ריכרד דדקינד]] מצא שבחוגים מסוימים (הקרויים על-שמו [[חוג דדקינד|חוגי דדקינד]]) יש פירוק יחיד של כל אידאלאידיאל כמכפלה של אידאליםאידיאלים ראשוניים.

== אידאליםאידיאלים ראשוניים בהרחבות ==

האורך המקסימלי (נאמר, n) של שרשרת אידאליםאידיאלים ראשוניים <math>\,P_0 \sub \cdots \sub P_n=P</math> נקרא ה'''גובה''' של P. הגובה המקסימלי האפשרי בחוג הוא [[ממד קרול הקלאסי]] שלו (העשוי להיות אינסופי אפילו אם כל הראשוניים בעלי גובה סופי).

בהרחבה <math>\ C \subset R</math> של חוגים קומוטטיביים, האידאלהאידיאל הראשוני Q של R נמצא "מעל" אידאלאידיאל ראשוני P של C, אם <math>\ Q \cap C = P</math>. ההרחבה מקיימת את התכונות:

* LO (או Lying Over) אם מעל כל אידאלאידיאל ראשוני של C יש אידאלאידיאל ראשוני של R;

* INC (או Incomparability) אם שני אידאליםאידיאלים של R, שאחד מהם מכיל את רעהו, אינם יכולים להמצא מעל אותו אידאלאידיאל של C;

* GU (או Going Up) אם כאשר Q מעל P ו- <math>\ P' \subset P</math>, יש גם אידאלאידיאל ראשוני מעל 'P;

* GD (או Going Down) אם כאשר Q מעל P ו- <math>\ P\subset P'</math>, יש גם אידאלאידיאל ראשוני מעל 'P.