דירוג מטריצות – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←‏top: replaced: לעתים ← לעיתים באמצעות AWB
Matanyabot (שיחה | תרומות)
מ בוט החלפות: \1ליניארי
שורה 1:
'''דירוג מטריצות''' היא הפעלה של [[אופרטור|פעולות מתמטיות]] מסוימות על [[מטריצה]], שאינן משנות את [[מרחב הפתרונות]] שלה. השימושים של תהליך זה הם מציאת [[פתרון משוואה|פתרונות]] של [[מערכת משוואות לינאריותליניאריות]], מציאת [[דרגה (אלגברה לינאריתליניארית)|דרגה]] של מטריצה, מציאת [[דטרמיננטה]] של מטריצה ומציאת [[מטריצה הפיכה|המטריצה ההופכית]] של מטריצות הפיכות.
 
השיטה בעזרתה מדרגים מטריצות נקראת "שיטת החילוץ של גאוס" או "שיטת האלימינציה של גאוס", לעיתים גם "אלימינציית גאוס-ג'ורדן". שיטה זו קרויה על שם ה[[מתמטיקאי]] הגרמני [[קרל פרידריך גאוס]]. שיטות דומות מופיעות כבר בפרק השמיני של [[תשעת הפרקים של אמנות המתמטיקה]], כתב מתמטי סיני עתיק מלפני הספירה.
שורה 177:
== שימושים ==
 
=== פתרון מערכת משוואות לינאריותליניאריות ===
 
שיטת דירוג המטריצות, הידועה גם בשם אלימינציית גאוס-ג'ורדן, היא שיטה לפתרון [[משוואה לינאריתליניארית|מערכת משוואות לינאריותליניאריות]]. ב[[אלגברה לינאריתליניארית]] מוכיחים כי כל מטריצה ניתנת לדירוג עד להבאתה ל[[מטריצה מדורגת קנונית|צורתה הקנונית]] היחידה. לכן במסגרת שיטה זו מדרגים את המטריצה המתקבלת מהוספת וקטור המקדמים החופשיים למטריצת המקדמים, ומקבלים מטריצה מדורגת קנונית ממנה אפשר בקלות לקרוא את הפתרון. כאשר יש פתרון יחיד למערכת (המטריצה הפיכה) מגיעים לצורה
: <math>( I | \vec{b'} )</math>
כאשר 'b הוא וקטור ובו איברים ההמתקבלים מצירופים לינארייםליניאריים של המקדמים החופשיים, ותלויים בפעולות הדירוג שנעשו על המטריצה. למשל, עבור מערכת של 2 משוואות ב-2 נעלמים מקבלים
: <math>\ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & b'_1 \ \\ 0 & 1 & b'_2 \ \end{array} \right] </math>
ממנה קוראים את הפתרון <math>\ x_1 = b'_1 \ , \ x_2 = b'_2</math>.
שורה 191:
===מציאת דרגה של מטריצה===
 
כדי למצוא [[דרגה (אלגברה לינאריתליניארית)|דרגה]] של מטריצה יש לדרג אותה עד לצורה מדורגת (אין צורך להגיע לקנונית דווקא), ואז מספר השורות פחות מספר שורות האפסים שווה לדרגת המטריצה.
 
=== חישוב דטרמיננטה ===
שורה 197:
הדרך היעילה ביותר לחשב [[דטרמיננטה]] עבור מטריצות גדולות (למשל מסדר 4 ומעלה) היא לדרג את המטריצה עד אשר מגיעים ל[[מטריצה משולשית]]. הדטרמיננטה של מטריצה משולשית היא מכפלת איברי האלכסון של המטריצה המשולשית. כדי לקבל את הדטרמיננטה של המטריצה המקורית, יש לעקוב אחרי פעולות הדירוג שביצענו, ולתקן את ערך הדטרמיננטה בהתאם:
* פעולה של החלפת שורות היא ביצוע של [[תמורה (מתמטיקה)#חילוף|חילוף]] אחד נוסף ולכן ה[[זוגיות של תמורה|סימן]] משתנה, ולכן יש לכפול את הדטרמיננטה במינוס אחד, <math>|A_\mathrm{new}| = (-1)\cdot |A_\mathrm{old}|</math>.{{הערה|שם=A| הוא סימון לדטרמיננטה של A.}}
* מהעובדה שהדטרמינטה היא מולטי-לינאריתליניארית, נובע כי על פעולה של הכפלת שורה או עמודה בסקלר <math>\lambda</math>, הדטרמיננטה מוכפלת באותו סקלר, <math>|A_\mathrm{new}| = \lambda \cdot |A_\mathrm{old}|</math>
* על פעולה של הוספת שורה מוכפלת בסקלר, לשורה אחרת, ערך הדטרמיננטה לא משתנה, <math>|A_\mathrm{new}| = |A_\mathrm{old}|</math>
 
{{אלגברה לינאריתליניארית}}
 
==הערות שוליים==