הבדלים בין גרסאות בדף "חוג נתרי"

נוספו 76 בתים ,  לפני שנתיים
מ
בוט החלפות: אידיאל
(היה כתוב "חוג נתרי (או חוג נתרי)")
תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד
מ (בוט החלפות: אידיאל)
ב[[אלגברה מופשטת]], '''חוג נתרי''' הוא [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] עם יחידה המקיים את [[תנאי שרשרת (מתמטיקה)|תנאי השרשרת העולה]] על ה[[אידאל (אלגברה)|אידאליםאידיאלים]] השמאליים שלו, כלומר כל סדרה עולה ממש של אידאליםאידיאלים שמאליים בחוג כזה מוכרחה להסתיים. חוגים אלו קרויים על שמה של [[אמי נתר]] אשר חקרה חוגים אלה, בעקבות מורה [[דויד הילברט]]. מתנאי השרשרת נובע שכל [[אידאלאידיאל שמאלי]] של החוג הוא בעל מספר יוצרים סופי, ועובדה זו מגבילה את הגודל והמורכבות של חוגים נתריים. במידה ידועה, [[תורת החוגים]] עוסקת בעיקר בחוגים נתריים, משום שחוגים שאינם נתריים הם פראיים ומסובכים מכדי שאפשר יהיה להבינם.
 
אחת התכונות החשובות של חוגים אלה היא של[[אידאלאידיאל ראשוני|אידאליםאידיאלים הראשוניים]] יש [[גובה של אידאלאידיאל|גובה]] סופי - ולכן אפשר ללמוד את ה[[ספקטרום של חוג|ספקטרום]] באינדוקציה על הממד, דרך שרשראות של אידאליםאידיאלים ראשוניים. גובהם של האידאליםהאידיאלים הראשוניים סופי, אבל אינו בהכרח חסום, ולכן ישנם חוגים נתריים ש[[ממד קרול]] שלהם אינסופי. עם זאת, ל[[אלגברה אפינית|אלגברות אפיניות]] (קומוטטיביות), שהן אחד המקורות העיקריים לדוגמאות של חוגים נתריים, יש ממד קרול סופי.
 
תנאי השרשרת היורדת, שהוא דואלי לתנאי השרשרת העולה, מגדיר חוגים הנקראים [[חוג ארטיני|ארטיניים]]. הסימטריה מדומה בלבד: כל חוג ארטיני הוא נתרי ([[משפט הופקינס-לויצקי]]). חוגים נתריים מקיימים את תנאי [[משפט גולדי]], על שיכון חוגים ראשוניים (למחצה) בחוגים ארטיניים פשוטים (למחצה).
 
==הגדרות==
הנתריות מוגדרת (ברוב הספרים) במונחי האידאליםהאידיאלים השמאליים. באופן דומה אפשר להגדיר גם:
* '''חוג נתרי-ימני''' - חוג המקיים את התנאי ACC על אידאליםאידיאלים ימניים
* '''חוג נתרי חלש''' - חוג המקיים את התנאי ACC על אידאליםאידיאלים דו-צדדיים
ישנם חוגים נתריים שאינם נתריים ימניים (ולהפך), אבל בחוגים קומוטטיביים מתלכדות כל התכונות.
 
===קריטריון לחוג נתרי===
חוג הוא נתרי אם ורק אם הוא [[מודול נתרי|נתרי]] כ[[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]] מעל עצמו (משום שהאידאליםשהאידיאלים השמאליים של החוג הם תת-המודולים שלו).
 
* "'''תנאי המקסימום'''" (לאידאליםלאידיאלים שמאליים) קובע שבכל קבוצה לא ריקה של אידאליםאידיאלים שמאליים בחוג <math>\ R</math>, קיים איבר מקסימלי, כלומר אידאלאידיאל שלא מוכל באף אידאלאידיאל אחר מהקבוצה (אף על פי שאידאלשאידיאל כזה בדרך כלל אינו [[אידאלאידיאל מקסימלי]]). חוג R הוא נתרי אם ורק אם הוא מקיים את תנאי המקסימום על אידאליםאידיאלים שמאליים.
מתנאי המקסימום אפשר להסיק שכל אידאלאידיאל שמאלי בחוג מוכל באידאלבאידיאל שמאלי מקסימלי; תכונה זו נכונה בכל חוג, על-פי [[הלמה של צורן]].
* '''"תנאי הבסיס הסופי"''': כל אידאלאידיאל שמאלי <math>\ I</math> ב-<math>\ R</math> נוצר סופית (כלומר קיימים <math>\ a_1, a_2,..., a_n</math> ב-<math>\ R</math> כך ש <math>\ I=Ra_1+Ra_2+...+ Ra_n</math>). החוג R מקיים תנאי זה אם ורק אם הוא נתרי.
 
'''משפט'''. חוג קומוטטיבי הוא נתרי אם ורק אם כל אידאלאידיאל ראשוני נוצר סופית.
 
==תכונות==
* בחוג נתרי <math>\ R</math>, כל אידאלאידיאל מכיל מכפלה (סופית) של אידאליםאידיאלים ראשוניים. מוכיחים זאת באמצעות תנאי המקסימום. בפרט, יש מכפלה של אידאליםאידיאלים ראשוניים השווה לאפס (בתחומי-שלמות נתריים אידאלאידיאל האפס הוא בעצמו ראשוני).
 
* כל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] הוא חוג נתרי. זה נובע מכך שהאידאליםשהאידיאלים היחידים בשדה הם השדה עצמו ו-<math>\ \{0\}</math>.
* [[משפט הבסיס של הילברט]]: אם <math>\ R</math> חוג נתרי אז <math>\ R[x]</math> חוג נתרי (<math>\ R[x]</math> הוא חוג הפולינומים במספר סופי של משתנים מעל <math>\ R</math>). ניתן להוכיח זאת בשתי דרכים - על ידי תנאי המקסימום ועל ידי תנאי הבסיס הסופי. ההוכחה של [[דויד הילברט|הילברט]] עצמו עושה שימוש ניכר בתנאי הבסיס הסופי.
* כל [[הומומורפיזם|תמונה הומומורפית]] <math>\ R'</math> של חוג נתרי <math>\ R</math> היא נתרית בעצמה. במלים אחרות, אם <math>\ R</math> חוג נתרי ו-<math>\ I</math> אידאלאידיאל, אז חוג המנה <math>\ R/I</math> גם הוא נתרי. ('''הוכחה''': כל אידאלאידיאל של חוג המנה הוא תמונה של אידאלאידיאל של R, הנוצרת על ידי תמונתה של קבוצת יוצרים סופית שם).
משלוש התכונות האחרונות נובע שכל אלגברה קומוטטיבית נוצרת סופית היא נתרית.
 
* כל [[תחום שלמות]] נתרי <math>\ R</math> הוא [[תחום אטומי|אטומי]], כלומר: כל איבר <math>\ a</math> שאינו [[איבר הפיך|הפיך]] אפשר להציג כמכפלה של [[איבר אי-פריק|איברים אי-פריקים]] מתוך <math>\ R</math>.
'''הוכחה:''' נשתמש כאן פעמיים בתנאי ה-ACC של חוג נתרי. נניח ש-a הוא איבר לא הפיך ב-R, ונגדיר את הסדרה <math>\left\{a_n\right\}</math> על ידי הכללים: <math>\ a_1 = a</math>;
<math>\ a_n</math> הוא מחלק אמיתי של <math>\ a_{n-1}</math> (מחלק אמיתי - אינו הפיך, וגם המנה ביחס אליו אינה הפיכה). האידאליםהאידיאלים מהצורה <math>\ Ra_n</math> יוצרים שרשרת עולה ממש, ולכן, על פי תנאי ה-ACC, זו שרשרת סופית, והאיבר האחרון בה הוא אי-פריק. הוכחנו כי לכל איבר לא הפיך יש מחלק אי-פריק. נשתמש בעובדה זו על מנת ליצור סידרה חדשה <math>\left\{b_n\right\}</math> המוגדרת על ידי: <math>\ b_1 = a</math>;
<math>\ b_{n-1} = b_np_n</math>, כאשר <math>\ p_n</math> אי-פריק.
קיבלנו ש <math>\ a=p_2 ... p_m b_m</math> הוא מכפלה של איברים אי-פריקים.
* כל [[תחום ראשי]] הוא נתרי (מכיוון שהאידאליםשהאידיאלים שלו נוצרים סופית).
 
'''השערת ג'ייקובסון''', השואלת האם <math>\ \bigcap J(R)^n = 0</math> כאשר <math>\ J(R)</math> הוא [[רדיקל ג'ייקובסון]] של החוג, פתוחה עבור חוגים שהם נתריים גם מימין וגם משמאל.
==דוגמאות==
* [[חוג המספרים השלמים]] - <math>\ \mathbb{Z}</math>. זה נובע מכך ש-<math>\ \mathbb{Z}</math> הוא [[תחום ראשי]].
* [[חוג השלמים ה-p-אדיים]] <math>\mathbb{Z}_p</math> כאשר <math>\ p</math> ראשוני. בחוג זה כל אידאלאידיאל נוצר על ידי חזקה של <math>\ p</math>.
* [[פולינום|חוג הפולינומים]] בשני משתנים מעל שדה המרוכבים: <math>\mathbb{C}[x,y]</math>. בחוג זה כל האידאליםהאידיאלים נוצרים סופית. (לפי משפט הבסיס של הילברט).
* דוגמה לחוג '''לא חילופי''' שהוא נתרי-ימני אך לא נתרי שמאלי: נתבונן בחוג מטריצות מגודל <math>\ 2 \times 2</math> המוגדר: <math>\ R= \begin{pmatrix}
\mathbb{Z} & \mathbb{Q} \\
0 & \mathbb{Q} \\
\end{pmatrix} </math>.{{ש}}ניתן לראות שחוג זה אינו נתרי שמאלי אם נתבונן בקבוצת [[אידאל (אלגברה)|האידאליםהאידיאלים]] הבאה: <math>\ I_n= \{\begin{pmatrix}
0 & \frac{m}{2^n} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} | m \in \mathbb{Z} \} </math>. {{ש}} עבור כל <math>\ n</math>, <math>\ I_n</math> הוא אידאלאידיאל שמאלי ב- <math>\ R</math>, ומתקיים: <math>\ I_0\subsetneq I_1\subsetneq I_2 \subsetneq ... </math>. יש לנו שרשרת עולה אינסופית של אידאליםאידיאלים שמאליים ומכאן שהחוג אינו נתרי שמאלי. לעומת זאת החוג <math>\ R</math> הוא נתרי ימני ([http://planetmath.org/encyclopedia/ExampleOfRightNoetherianRingThatIsNotLeftNoetherian.html הוכחה]).
 
==מקורות==