חוג נתרי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
היה כתוב "חוג נתרי (או חוג נתרי)" תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד |
Matanyabot (שיחה | תרומות) מ בוט החלפות: אידיאל |
||
שורה 1:
ב[[אלגברה מופשטת]], '''חוג נתרי''' הוא [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] עם יחידה המקיים את [[תנאי שרשרת (מתמטיקה)|תנאי השרשרת העולה]] על ה[[אידאל (אלגברה)|
אחת התכונות החשובות של חוגים אלה היא של[[
תנאי השרשרת היורדת, שהוא דואלי לתנאי השרשרת העולה, מגדיר חוגים הנקראים [[חוג ארטיני|ארטיניים]]. הסימטריה מדומה בלבד: כל חוג ארטיני הוא נתרי ([[משפט הופקינס-לויצקי]]). חוגים נתריים מקיימים את תנאי [[משפט גולדי]], על שיכון חוגים ראשוניים (למחצה) בחוגים ארטיניים פשוטים (למחצה).
שורה 8:
==הגדרות==
הנתריות מוגדרת (ברוב הספרים) במונחי
* '''חוג נתרי-ימני''' - חוג המקיים את התנאי ACC על
* '''חוג נתרי חלש''' - חוג המקיים את התנאי ACC על
ישנם חוגים נתריים שאינם נתריים ימניים (ולהפך), אבל בחוגים קומוטטיביים מתלכדות כל התכונות.
===קריטריון לחוג נתרי===
חוג הוא נתרי אם ורק אם הוא [[מודול נתרי|נתרי]] כ[[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]] מעל עצמו (משום
* "'''תנאי המקסימום'''" (
מתנאי המקסימום אפשר להסיק שכל
* '''"תנאי הבסיס הסופי"''': כל
'''משפט'''. חוג קומוטטיבי הוא נתרי אם ורק אם כל
==תכונות==
* בחוג נתרי <math>\ R</math>, כל
* כל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] הוא חוג נתרי. זה נובע מכך
* [[משפט הבסיס של הילברט]]: אם <math>\ R</math> חוג נתרי אז <math>\ R[x]</math> חוג נתרי (<math>\ R[x]</math> הוא חוג הפולינומים במספר סופי של משתנים מעל <math>\ R</math>). ניתן להוכיח זאת בשתי דרכים - על ידי תנאי המקסימום ועל ידי תנאי הבסיס הסופי. ההוכחה של [[דויד הילברט|הילברט]] עצמו עושה שימוש ניכר בתנאי הבסיס הסופי.
* כל [[הומומורפיזם|תמונה הומומורפית]] <math>\ R'</math> של חוג נתרי <math>\ R</math> היא נתרית בעצמה. במלים אחרות, אם <math>\ R</math> חוג נתרי ו-<math>\ I</math>
משלוש התכונות האחרונות נובע שכל אלגברה קומוטטיבית נוצרת סופית היא נתרית.
* כל [[תחום שלמות]] נתרי <math>\ R</math> הוא [[תחום אטומי|אטומי]], כלומר: כל איבר <math>\ a</math> שאינו [[איבר הפיך|הפיך]] אפשר להציג כמכפלה של [[איבר אי-פריק|איברים אי-פריקים]] מתוך <math>\ R</math>.
'''הוכחה:''' נשתמש כאן פעמיים בתנאי ה-ACC של חוג נתרי. נניח ש-a הוא איבר לא הפיך ב-R, ונגדיר את הסדרה <math>\left\{a_n\right\}</math> על ידי הכללים: <math>\ a_1 = a</math>;
<math>\ a_n</math> הוא מחלק אמיתי של <math>\ a_{n-1}</math> (מחלק אמיתי - אינו הפיך, וגם המנה ביחס אליו אינה הפיכה).
<math>\ b_{n-1} = b_np_n</math>, כאשר <math>\ p_n</math> אי-פריק.
קיבלנו ש <math>\ a=p_2 ... p_m b_m</math> הוא מכפלה של איברים אי-פריקים.
* כל [[תחום ראשי]] הוא נתרי (מכיוון
'''השערת ג'ייקובסון''', השואלת האם <math>\ \bigcap J(R)^n = 0</math> כאשר <math>\ J(R)</math> הוא [[רדיקל ג'ייקובסון]] של החוג, פתוחה עבור חוגים שהם נתריים גם מימין וגם משמאל.
שורה 41:
==דוגמאות==
* [[חוג המספרים השלמים]] - <math>\ \mathbb{Z}</math>. זה נובע מכך ש-<math>\ \mathbb{Z}</math> הוא [[תחום ראשי]].
* [[חוג השלמים ה-p-אדיים]] <math>\mathbb{Z}_p</math> כאשר <math>\ p</math> ראשוני. בחוג זה כל
* [[פולינום|חוג הפולינומים]] בשני משתנים מעל שדה המרוכבים: <math>\mathbb{C}[x,y]</math>. בחוג זה כל
* דוגמה לחוג '''לא חילופי''' שהוא נתרי-ימני אך לא נתרי שמאלי: נתבונן בחוג מטריצות מגודל <math>\ 2 \times 2</math> המוגדר: <math>\ R= \begin{pmatrix}
\mathbb{Z} & \mathbb{Q} \\
0 & \mathbb{Q} \\
\end{pmatrix} </math>.{{ש}}ניתן לראות שחוג זה אינו נתרי שמאלי אם נתבונן בקבוצת [[אידאל (אלגברה)|
0 & \frac{m}{2^n} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} | m \in \mathbb{Z} \} </math>. {{ש}} עבור כל <math>\ n</math>, <math>\ I_n</math> הוא
==מקורות==
|