|
ב[[מתמטיקה]], ובעיקר ב[[אלגברה מופשטת|אלגברה]], [[תורת המספרים]] ו[[גאומטריה אלגברית]], '''חוג דדקינד''' הוא [[תחום שלמות]] [[חוג נותרי|נותרי]] [[תחום נורמלי|נורמלי]] שבו כל [[אידאלאידיאל ראשוני]] שונה מאפס הוא [[אידאלאידיאל מקסימלי|מקסימלי]]. המבנה נקרא על שמו של [[ריכרד דדקינד]].
הדוגמה הבולטת לחוגי דדקינד היא אוסף המספרים השלמים ב[[שדה מספרים]], ומכאן התפקיד המרכזי שיש להם ב[[תורת המספרים האלגברית]]. לאידאליםלאידיאלים הראשוניים בחוג דדקינד יש תפקיד דומה לזה שמעניק [[המשפט היסודי של האריתמטיקה]] ל[[מספר ראשוני|מספרים הראשוניים]] ב[[חוג המספרים השלמים]]: כל אידאלאידיאל (שונה מאפס) אפשר לכתוב באופן יחיד כמכפלה של אידאליםאידיאלים ראשוניים. כל תחום שלמות בעל תכונה זו הוא חוג דדקינד.
== הגדרות שקולות ==
התפקיד המרכזי של חוגי דדקינד באלגברה קומוטטיבית מאפשר לאפיין אותם בדרכים רבות, המספקות מספר הגדרות חלופיות. תחום שלמות הוא חוג דדקינד אם:
* הוא נותרי ובעל [[ממד קרול]] 1, וכל [[אידאלאידיאל פרימרי]] הוא חזקה של אידאלאידיאל ראשוני;
* הוא נותרי, וה[[מיקום (אלגברה)|מיקום]] ביחס לכל אידאלאידיאל ראשוני הוא [[תחום הערכה דיסקרטית]] (כלומר, תחום ראשי [[חוג מקומי|מקומי]]);
* הוא "פירוקי" (כלומר - כל אידאלאידיאל הוא מכפלה של אידאליםאידיאלים ראשוניים באופן יחיד [[עד כדי (מתמטיקה)|עד כדי]] סדר);
* הוא נותרי, וכל אידאלאידיאל מקסימלי הוא [[מודול הפיך|הפיך]];
* כל אידאלאידיאל ראשוני (שונה מאפס) הוא הפיך;
* כל אידאלאידיאל שונה מאפס הוא הפיך;
* כל אידאלאידיאל הוא [[מודול פרויקטיבי|פרויקטיבי]];
* כל [[מודול חליק]] הוא [[מודול אינג'קטיבי|אינג'קטיבי]]{{הערה|Eilenberg-Cartan, "Homological Algebra", Prop VII.5.1}}.
(קיימות הגדרות שקולות רבות אחרות).
# אם S תת-[[מונואיד]] של חוג דדקינד R, אז המיקום <math>\ S^{-1}R</math> הוא חוג דדקינד (או שדה).
כל [[תחום ראשי]] הוא [[תחום פריקות יחידה]], אבל ההפך אינו נכון (למשל, חוג הפולינומים בשני משתנים x,y מעל שדה הוא תחום פריקות יחידה, אבל האידאלהאידיאל <math>\ \langle x,y \rangle</math> אינו ראשי). בחוגי דדקינד שתי התכונות שקולות: חוג דדקינד הינו תחום פריקות יחידה אם ורק אם הוא תחום ראשי.
חוגי דדקינד הם "כמעט ראשיים" בכמה מובנים. למשל, כל אידאלאידיאל של חוג דדקינד נוצר על ידי שני איברים לכל היותר. יתרה מזו: אם <math>\ 0 \ne J \subset I \subset R </math> אידאליםאידיאלים בחוג דדקינד, אז קיים <math>\ a\in R</math> כך ש-<math>\ I=J+Ra</math>. לכל אידאלאידיאל I בחוג דדקינד, קיים אידאלאידיאל J כך שהמכפלה IJ היא אידאלאידיאל ראשי. (יותר מזה, ניתן לבחור <math>\ J</math> להיות זר לכל אידאלאידיאל <math>\ A</math>; או כך ש-<math>\ Ra = IJ</math> לכל עבור <math>\ a</math> איבר ב-<math>\ I</math>). חוג דדקינד בעל מספר סופי של אידאליםאידיאלים ראשוניים הוא ראשי. אם חבורת המחלקות (ראו להלן) סופית, אפשר להפוך את החוג לראשי באמצעות היפוך של איבר אחד.
=== תחומים שהם כמעט דדקינד ===
תחום שלמות עם יחידה R הוא '''כמעט דדקינד''' אם מתקיים אחד התנאים השקולים הבאים{{הערה|Robert W. Gilmer, [http://www.ams.org/journals/proc/1964-015-05/S0002-9939-1964-0166212-8/S0002-9939-1964-0166212-8.pdf Integral domains which are almost Dedekind], Proc. Amer. Math. Soc. 15 (1964), 813-818
}}
* לכל אידאלאידיאל מקסימלי M, המיקום <math>\ R_M</math> הוא חוג הערכה דיסקרטית.
* אם לאידאללאידיאל יש רדיקל ראשוני, אז הוא חזקה של ראשוני.
* ממד קרול שווה ל-1, וכל אידאלאידיאל פרימרי הוא חזקה של ראשוני.
* יש צמצום באידאליםבאידיאלים (אם AB=AC אז A=0 או B=C).
כל תחום דדקינד הוא כמעט דדקינד. מאידך, אם תחום שלמות הוא כמעט דדקינד, כדי להיות דדקינד די לו בכך שכל אידאלאידיאל שונה מאפס מוכל במספר סופי של אידאליםאידיאלים מקסימליים.
== חבורת מחלקות האידאליםהאידיאלים ==
חבורת המחלקות של חוג דדקינד <math>\ R</math> מודדת עד כמה החוג אינו ראשי. יהי K שדה השברים של R. '''אידאלאידיאל שברי''' של <math>\ R</math> הוא, על-פי ההגדרה, <math>\ R</math>-תת-[[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]] <math>\ I</math> של <math>\ K</math> כך שעבור <math>\ d\in R</math> מתאים, מתקיים <math>\ dI=\{da | a \in I \} \subset R</math>. למשל, כל אידאלאידיאל (רגיל) של R הוא גם אידאלאידיאל שברי.
נסמן ב-<math>\ Id(R)</math> את קבוצת האידאליםהאידיאלים השבריים. בקבוצה זו אפשר להגדיר פעולת כפל כרגיל בכפל של אידאליםאידיאלים. כך הופכת קבוצה זו למונואיד, שבו איבר היחידה הוא החוג עצמו. מכיוון שכל אידאלאידיאל שברי הוא אידאלאידיאל הפיך, זוהי [[חבורה אבלית]] - ומתכונת הפירוק היחיד של אידאליםאידיאלים נובע שהיא [[חבורה אבלית חופשית]] הנוצרת על ידי אוסף האידאליםהאידיאלים הראשוניים של החוג. ([[אמי נתר]] הוכיחה ש[[תחום שלמות]] שלקבוצת האידאליםהאידיאלים השברים שלו עם פעולת הכפל יש מבנה של חבורה - הינו חוג דדקינד).
קבוצת האידאליםהאידיאלים השבריים הראשיים, שלהם הצורה <math>\ bR = \{ ba \ | \ a \in R \}</math> עבור <math>0\ne b\in K</math>, היא תת-חבורה של <math>\ Id(R)</math>. '''חבורת מחלקות האידאליםהאידיאלים''' <math>\ Cl(R)</math> של <math>\ R</math> היא חבורת המנה של <math>\ Id(R)</math> ביחס לחבורת האידאליםהאידיאלים הראשיים.
חבורת המחלקות היא טריוויאלית בדיוק כאשר כל אידאלאידיאל (שברי) הוא ראשי - כלומר, כאשר החוג ראשי. במקרים רבים (למשל, עבור חוגי שלמים של שדה מספרים), החבורה סופית.
נניח שחבורת מחלקות האידאליםהאידיאלים של <math>\ R</math> היא סופית. נבחר נציגים <math>\ I_1,...,I_m</math> של מחלקות האידאליםהאידיאלים (ניתן לבחור אותם להיות אידאליםאידיאלים אמיתיים של R); ניקח <math>\ b\neq 0</math> איבר כלשהו ב- <math>\ \cap I_i</math>, ו-
<math>\ S = \{1,b,b^2, ... \}</math> המונואיד הנוצר על ידי b. אז <math>\ S^{-1}R</math> הוא [[תחום ראשי]].
== מודולים מעל חוג דדקינד ==
כל [[מודול נוצר סופית]] מעל חוג דדקינד אפשר לפרק כסכום ישר של מודול מפותל ומודול חסר פיתול. מודול חסר פיתול הוא [[סכום ישר]] של אידאליםאידיאלים שבריים. אם <math>\,A_i</math> אידאליםאידיאלים שבריים, הסכום <math>\ A_1\oplus \cdots \oplus A_m</math> תלוי רק בדרגה m ובמכפלה <math>\ A_1\dots A_m</math> בחבורת המחלקה. בפרט, כל מודול חסר פיתול ונוצר סופית מעל R הוא מהצורה <math>\ R^n\oplus I</math>, כאשר I אידאלאידיאל שלם של R.
אם <math>\ N\subseteq M</math> מודולים כנ"ל מאותה דרגה, אז קיימים <math>\ e_1,\dots,e_m \in M</math>, אידאליםאידיאלים שבריים <math>\ A_1,\dots,A_m</math>, ואידאליםואידיאלים שלמים <math>\ I_1 \supseteq I_2 \supseteq \cdots \supseteq I_m</math>, כך ש- <math>\ M=a_1e_1 \oplus\cdots\oplus a_me_m</math> ו- <math>\ N=a_1I_1e_1 \oplus\cdots\oplus a_mI_me_m</math>. האידאליםהאידיאלים
<math>\ I_i</math> נקבעים באופן חד-משמעי, והם נקראים '''הגורמים האינווריאנטיים''' של N ב-M.
| 