הבדלים בין גרסאות בדף "קירוב ליניארי"

נוספו 14 בתים ,  לפני שנתיים
מ
בוט החלפות: \1ליניארי
מ (בוט החלפות: \1ליניארי)
[[קובץ:TangentGraphic2.svg|ממוזער|300px|הקו המשיק]]
 
'''קירוב לינארי''' או '''קירוב מסדר ראשון''' הוא מושג ב[[מתמטיקה]] המתאר [[קירוב]] של [[פונקציה]] מתמטית כלשהי באמצעות [[פונקציה לינאריתליניארית]] (ליתר דיוק, [[פונקציה אפינית]]). לקירובים לינאריםליניארים יש שימוש נרחב במדעים ובמתמטיקה כדי לקבל קירוב לערך הפונקציה בסביבה של ערך קבוע מראש. היות שפונקציות לינאריותליניאריות הן קלות לחישוב ולפתרון, קירובים לינאריםליניארים מועדפים כמעט תמיד בניתוחים אנליטיים ונומריים אם הם מספקים את הדיוק הנדרש.
 
כאשר לפונקציה קיים קירוב לינארי, נאמר שהפונקציה [[דיפרנציאביליות|דיפרנציאבילית]].
<math display="block"> f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a).</math>
 
ככל ש-<math>\ x</math> יהא קרוב יותר ל-<math>\ a</math> כך [[שגיאת קירוב|שגיאת הקירוב]] תהא קטנה יותר שכן האיברים של החזקות הגבוהות יותר של <math>\ x-a</math> ישאפו מהר יותר לאפס ויהיו זניחים ביחס לאיבר הלינאריהליניארי ב-<math>\ x-a</math> והאיבר הקבוע.
 
למעשה הנוסחה שלעיל היא בדיוק משוואת ה[[משיק]] לגרף של הפונקציה <math>\ f</math> בנקודה <math>\ (a, f(a))</math>.
 
ניתן לבצע קירוב לינארי לפונקציות [[מרחב וקטורי|וקטוריות]] [[דיפרנציאביליות]] באופן דומה<!-- , כאשר נקודת ההשקה תהא ב[[יעקוביאן]] של הפונקציה -->. לדוגמה, בהינתן פונקציה [[דיפרנציאביליות|דיפרנציאבילית]] <math>\ f(x, y)</math> על המספרים הממשיים, הקירוב הלינאריהליניארי של <math>\ f(x, y)</math> עבור <math>\ (x, y)</math> קרובים ל-<math>\ (a, b)</math> נתון על ידי הנוסחה:
<math display="block">f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+\frac{\partial f}{\partial x}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+\frac{\partial f}{\partial y}\left(a,b\right)\left(y-b\right).</math>
 
# ראשית עלינו למצוא את הנגזרת הראשונה של הפונקציה:
#:<math>f'(x)=\frac{x^{-2/3}}{3}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}</math>
# ואז לפי משוואת הקירוב הלינאריהליניארי:
#:<math> f(25) \approx f(27) + f'(27)(25 - 27) = 3 - 2/27.</math>
התוצאה המתקבלת, 2.926, קרובה למדי לערך האמיתי של המספר: 2.924. [[שגיאת קירוב|שגיאת הקירוב]] המוחלטת היא 0.002, ושגיאת הקירוב היחסית היא 0.0684%.