הבדלים בין גרסאות בדף "מרחב פתרונות"

נוספו 18 בתים ,  לפני 3 שנים
מ
בוט החלפות: \1ליניארי
מ (בוט החלפות: \1ליניארי)
ב[[אלגברה לינאריתליניארית]], '''מרחב הפתרונות''', '''מרחב האפסים''' או ה'''גרעין''' של [[מטריצה]] <math>A</math> הוא קבוצת כל ה[[וקטור עמודה|ווקטורים]] שפותרים את המשוואה <math>A\mathbf{x}=\mathbf{0}</math>. כלומר זהו אוסף הפתרונות של [[מערכת משוואות לינאריותליניאריות|מערכת המשוואות הלינאריותהליניאריות ההומוגונית]] המיוצגת על ידי <math>A</math>. את מרחב הפתרונות מסמנים <math>\mbox{Null}(A)</math>. מרחב הפתרונות הוא [[מרחב וקטורי|תת-מרחב וקטורי]] של [[מרחב וקטורי|המרחב הווקטורי]] <math>F^n</math>, כאשר F הוא השדה שמעליו מוגדרות המשוואות, ו-n הוא מספר העמודות ב-<math>A</math> (שהוא מספר הנעלמים במערכת המשוואות). זאת משום שסכום פתרונות הוא פתרון, ו[[כפל בסקלר]] של פתרון הוא פתרון.
 
אם <math>T</math> היא [[העתקה לינאריתליניארית]] שמיוצגת על ידי מטריצה <math>A</math> לפי [[בסיס (אלגברה)|בסיס]] סדור <math>B</math> של התחום של <math>T</math>, אז <math>\mbox{Null}(A)</math> הוא מרחב [[וקטור קואורדינטות|וקטורי הקואורדינטות]] של ה[[גרעין (אלגברה)|גרעין]] <math>\mbox{Ker}(T)</math> לפי <math>B</math>, ושני המרחבים [[איזומורפיזם|איזומרפיים]].
 
ה[[ממד (אלגברה לינאריתליניארית)|ממד]] של <math>\mbox{Null}(A)</math> נקרא ה'''אפסיות''' של <math>A</math> ומסומן <math>\mbox{nullity}(A)</math>. לכל מטריצה <math>A</math> עם n עמודות מתקיים <math> \mbox{nullity}(A)+\mbox{rank}(A) = n</math>, כאשר <math>\mbox{rank}(A)</math> הוא [[דרגה (אלגברה לינאריתליניארית)|דרגת]] <math>A</math>. המשפט המקביל להעתקות הוא <math>\dim \operatorname{Ker} T + \dim \operatorname{Im}\,T = \dim V</math>, כאשר <math>V</math> הוא התחום של <math>T</math>.
 
לפי הגדרתו מרחב הפתרונות של מטריצה הוא מרחב ה[[וקטור עצמי|ווקטורים העצמיים]] השייכים ל[[ערך עצמי]] 0. אם המטריצה היא [[מטריצה הפיכה]] מרחב הפתרונות [[מקרה מנוון|מתנוון]] וכולל רק את וקטור האפס. מרחב פתרונות לעולם אינו [[הקבוצה הריקה|ריק]] כי הוא תמיד כולל את וקטור האפס. באופן כללי, המרחב העצמי של ערך עצמי <math>\lambda</math> של מטריצה <math>A</math> הוא <math>\mbox{Null}( A - \lambda I )</math>.
 
[[דירוג מטריצות]] מבוסס על הפעלת פעולות אלמנטריות על מטריצה שמשנות אותה, אך שומרות על מרחב הפתרונות שלה. [[שיטת הלכסון של גאוס]] מתבססת על כך לשם פתרון מערכות של משוואות לינאריותליניאריות; מביאים את המטריצה שמייצגת את המערכת למצב מדורג קנוני ממנו קל לקרוא את מרחב הפתרונות, שהוא אוסף הפתרונות למערכת.
 
==דוגמה==
שפתרונה <math>(0,t,-t)</math>, כאשר t פרמטר הנבחר בחופשיות. על כן מרחב הפתרונות הוא ה[[ישר]] במרחב התלת ממדי העובר דרך <math>(0,1,-1)</math> והראשית. <math>\mbox{nullity}(A)=1</math>, שכן ישר הוא חד-ממדי.
 
==מערכת משוואות לינאריתליניארית אי-הומוגנית==
נתונה מערכת משוואות לינאריותליניאריות <math>A\textbf{x} = \textbf{b}</math>. בהינתן שני פתרונות למערכת <math>\mathbf{v}, \mathbf{u}</math>, ההפרש ביניהם מקיים:
:<math>A(\mathbf{v-u}) = A\mathbf{v}-A\mathbf{u} = \textbf{b}-\textbf{b} = \textbf{0}</math>