אופרטור צמוד – הבדלי גרסאות

נוספו 24 בתים ,  לפני 4 שנים
מ
בוט החלפות: \1ליניארי
מ (בוט החלפות: \1ליניארי)
ב[[אלגברה לינאריתליניארית]] והכללותיה, '''האופרטור הצמוד''' לאופרטור לינאריליניארי <math>\ T : V \rightarrow W</math> הוא אופרטור לינאריליניארי אחר, <math>\ T^* : W^* \rightarrow V^*</math>. בנוכחות [[מרחב מכפלה פנימית|מכפלה פנימית]] האופרטור הצמוד הוא אופרטור <math>\ T^* : W \rightarrow V</math>.
 
פעולת ההצמדה מהווה [[אינוולוציה (תורת החוגים)|אינוולוציה]] של [[חוג האנדומורפיזמים]] של מרחב מכפלה פנימית.
== המקרה הכללי ==
 
לכל [[מרחב וקטורי]] V מוגדר [[המרחב הדואלי]] <math>\ V^*</math> של כל הפונקציונלים <math>\ V \rightarrow F</math>. אם <math>\ T : V \rightarrow W</math> העתקה לינאריתליניארית, ההעתקה הצמודה היא אופרטור <math>\ T^* : W^* \rightarrow V^*</math> המוגדר לפי הכלל הפשוט <math>\ (T^*f)(v) = f(Tv)</math>; כלומר, <math>\ T^*</math> פועל על פונקציונלים <math>\ f : W \rightarrow F</math> על ידי [[הרכבת פונקציות|הרכבת]] T מימין.
 
פעולת הצמוד היא לינאריתליניארית: אם <math>\ T,S : V \rightarrow W</math> שתי העתקות לינאריותליניאריות ו-<math>\ \alpha \in F</math> הוא [[סקלר (מתמטיקה)|סקלר]], אז <math>\ (T+S)^* = T^*+S^*</math> ו- <math>\ (\alpha T)^* = \alpha T^*</math>.
 
אם U,V,W מרחבים וקטוריים ו- <math>\ T : V \rightarrow W,\, S : W \rightarrow U</math> העתקות, אז <math>\ (ST)^* = T^*S^*</math> משום ש-<math>\ ((ST)^*g)(v) = g(STv)=S^*g(Tv)=(T^*(S^*g))(v)</math>.
כאשר מוגדרת על V מכפלה פנימית, היא מאפשרת לזהות את V עם המרחב הדואלי שלו, בכך שכל וקטור x מותאם לפונקציונל <math>\ f_x : y \rightarrow (y,x)</math>. נניח שגם על W מוגדרת מכפלה פנימית משלו, הקובעת זיהוי של W עם המרחב הדואלי שלו באותו אופן.
 
אם <math>\ T : V \rightarrow W</math> העתקה לינאריתליניארית, אז מגדירים <math>\ T^* : W \rightarrow V</math> כך שיתקיים, לכל <math>\ w \in W</math>, <math>\,f_{T^*w} = T^*f_w</math>; כלומר, לכל <math>\ v \in V</math>, <math>\,(v,T^*w) = f_{T^*w}(v) = T^*f_w(v) = f_w(Tv) = (Tv,w)</math>. כך מגדיר השוויון <math>\ (v,T^*w)=(Tv,w)</math> את האופרטור החדש <math>\ T^* : W \rightarrow V</math>.
 
במקרה של מכפלה פנימית הרמיטית, כגון מכפלה פנימית מעל [[שדה המספרים המרוכבים]] שבה מתקיים <math>\ (x,\alpha y) = \bar{\alpha}(x,y)</math>, הזיהוי של V עם המרחב הדואלי הוא דרך פעולה צמודה של הסקלרים, ולכן במקרה זה יש לקרוא את נוסחת הכפל בסקלר שהוזכרה לעיל כך: <math>\ (\alpha T)^* = \bar{\alpha}T^*</math>.
 
במקרה המיוחד V=W, הלינאריותהליניאריות של פעולת ההצמדה, יחד עם חוק הכפל <math>\ (ST)^*=T^*S^*</math>, הופכים את ההצמדה ל[[אינוולוציה (תורת החוגים)|אינוולוציה]] של [[חוג האנדומורפיזמים]] <math>\ \operatorname{End}(V)</math> (שאבריו הם כל ההעתקות הלינאריותהליניאריות מ-V ל-V).
 
=== ההגדרה של העתקה צמודה ===
העתקה צמודה (ידוע גם כ- טרנספורמציה הצמודה ) היא [[העתקה לינאריתליניארית]] אשר מקיימת <math>\langle T u,v \rangle = \langle u,T^* v \rangle</math> והיא תואמת במשמעותה את ה[[מטריצה צמודה|מטריצה הצמודה.]]
 
<math>T^*</math> מוגדרת על ידי <math>T^*v=\sum_{k=1}^N\overline{\langle Tw_i,v \rangle}w_i</math>
== מטריצות ==
 
בין מרחבים וקטוריים מממד סופי אפשר לתאר כל העתקה לינאריתליניארית באמצעות מטריצה, על ידי בחירת [[בסיס (אלגברה לינאריתליניארית)|בסיס]] לכל מרחב. בפרט, עבור מרחבי הווקטורים הסטנדרטיים, בחירת הבסיס הסטנדרטי כבסיס מייצג מאפשרת לחשב את האופרטור הצמוד בקלות: <math>\ A^* = (\bar{a_{ji}})_{ij}</math>, כלומר [[שחלוף (מתמטיקה)|שחלוף]] ואז הפעלת [[הצמוד המרוכב]].
 
== ראו גם ==