חוג פשוט – הבדלי גרסאות

ב[[תורת החוגים]], '''חוג פשוט''' הוא חוג שאין לו [[אידאל (אלגברה)|אידאליםאידיאלים]] [[טריוויאלי (מתמטיקה)|לא טריוויאליים]]{{הערה|1=חוג בלי יחידה A הוא פשוט אם אין לו אידאליםאידיאלים לא טריוויאליים, ובנוסף <math>\ A^2 \neq 0</math>. מן ההנחות האלה נובע שלמעשה <math>\ A^2 = A</math>; שוויון זה מובטח בכל מקרה בחוגים עם יחידה.}}. בהיותם האובייקטים היסודיים בתורת המבנה, נודעת חשיבות רבה להכרת החוגים הפשוטים במחלקות שונות של חוגים. החוגים הפשוטים הקומוטטיביים אינם אלא שדות. החוגים הפשוטים ה[[חוג ארטיני|ארטיניים]] הם, לפי [[משפט ודרברן-ארטין]], [[חוג מטריצות|אלגברות מטריצות]] מעל [[חוג עם חילוק|חוגים עם חילוק]]. המבנה של חוגים פשוטיים [[חוג נותרי|נתריים]] מסובך למדי, וידועות שם כמה וכמה דוגמאות פתולוגיות.

לכל חוג פשוט R מ[[מאפיין של שדה|מאפיין]] 0, אם <math>\ d : R \rightarrow R</math> היא [[גזירה (אלגברה)|גזירה]] (כלומר, פונקציה לינאריתליניארית המקיימת את [[כלל לייבניץ]] <math>\ d(ab)=ad(b)+d(a)b</math>; ראו [[אלגברה דיפרנציאלית]]) שאינה פנימית (כלומר, היא אינה מהצורה <math>\ d(a)=at-ta</math> עבור t קבוע), אז [[הרחבת אור]] <math>\ R[x;d]</math> (הכוללת את הפולינומים מעל R, עם כלל הכפל <math>\ x a = a x + d(a)</math>) היא חוג פשוט ([[שמשון עמיצור|עמיצור]]). חזרה איטרטיבית על בניה זו מביאה (כאשר F שדה ממאפיין 0) ל[[אלגברת וייל]] <math> A_n(F) = F[x_1,\dots,x_n, y_1,\dots, y_n]</math>, שבה כל <math>\ x_i</math> וכל <math>\ y_j</math> מתחלפים זה עם זה, למעט <math>\ y_ix_i=x_iy_i+1</math>. זוהי דוגמה ידועה לאלגברה פשוטה נותרית.

ההגדרה לחוג פשוט אינה מבטיחה, א-פריורי, את קיומו של אבר יחידה (לדגומה, החוג של אנדומורפיזמים בעלי תמונה סוף ממדית על [[מרחב וקטורי]] אינסוף ממדי) ומכאן שניתן לתהות האם קיימים חוגים פשוטים במחלקות של חוגים ללא יחידה - כמו חוגים השווים ל[[רדיקל ג'ייקובסון]] של עצמם או [[אידאלאידיאל נילי|חוגים ניליים]] (כפי ששאלו לויצקי, ג'ייקובסון, קפלנסקי ואחרים).

לכל חוג אסוציאטיבי R נלווים [[אלגברת לי|חוג לי]] <math>\ R^{-}</math> ו[[אלגברת ז'ורדן|חוג ז'ורדן]] <math>\ R^{+}</math> הבנויים על אותם איברים ואותה פעולת חיבור, עם הכפל <math>\ [x,y]=xy-yx</math> במקרה הראשון ו-<math>\ x\circ y = xy+yx</math> במקרה השני. באופן טיפוסי לאחרונים יש "יותר" אידאליםאידיאלים מאשר ל-R, משום שהפעולה שלהם סימטרית יותר. אם R חוג פשוט ממאפיין שאינו 2, אז <math>\ R^+</math> הוא חוג ז'ורדן פשוט, וכל אידאלאידיאל של חוג לי <math>\ R^{-}</math> מוכל במרכז של R או מכיל את כל הקומוטטורים שלו. חוג המנה <math>\ [R,R]/\operatorname{Cent}(R)</math> הוא חוג לי פשוט.