תבנית קילינג – הבדלי גרסאות

נוספו 20 בתים ,  לפני 4 שנים
מ
בוט החלפות: אידיאל, \1ליניארי
מ (בוט החלפות: אידיאל, \1ליניארי)
ב[[אלגברה מופשטת]], '''תבנית קילינג''' (נקראת על שם [[וילהלם קילינג]]) היא [[תבנית בילינאריתביליניארית]] הקשורה ל[[אלגברת לי]] נתונה. תפקידה המרכזי הוא במתן [[אם ורק אם|תנאי הכרחי ומספיק]] להיותה של אלגברת לי [[אלגברת לי פשוטה למחצה|פשוטה למחצה]].{{ש}}
 
== הגדרה פורמלית ==
* תבנית קילינג אסוציאטיבית, במובן ש-<math>k([x,y],z)=k(x,[y,z])</math>.
 
* ה[[תבנית בילינאריתביליניארית|רדיקל]] <math>\operatorname{Rad}(k) = \left\{ x \in L \mid k(x,L)=0 \right\}</math> של תבנית קילינג הוא [[אידאלאידיאל (אלגברת לי)|אידאלאידיאל]].
 
* התבנית נשמרת על ידי [[אוטומורפיזם|אוטומורפיזמים]] של <math>L</math>, כלומר <math>k(g(x),g(y))=k(x,y)</math> לכל אוטומורפיזם <math>g</math> של <math>L</math>.
בעזרת תבנית קילינג אפשר לנסח [[אם ורק אם|תנאי הכרחי ומספיק]] להיותה של [[אלגברת לי]] [[אלגברת לי פשוטה למחצה|פשוטה למחצה]]:
 
'''משפט:''' תהי אלגברת לי <math>L</math> מעל [[שדה סגור אלגברית]] ובעל [[מאפיין של שדה|מאפיין]] אפס. אז <math>L</math> היא פשוטה למחצה [[אם ורק אם]] תבנית קילינג שלה [[תבנית בילינאריתביליניארית|רגולרית]], כלומר: הרדיקל שלה אפס <math>\operatorname{Rad}(k)=0</math>.
 
'''הוכחה:''' נניח ש-<math>L</math> פשוטה למחצה. נוכיח כי <math>\operatorname{Rad}(k)</math> אידאלאידיאל פתיר, ולכן אפס. יהיו <math>x \in \operatorname{Rad}(k) , y \in L</math>, מתקיים <math>\operatorname{Tr}(\operatorname{ad}x \cdot \operatorname{ad}y)=0</math>. זה נכון בפרט ל-<math>y \in [\operatorname{Rad}(k),\operatorname{Rad}(k)] \subseteq L</math>, ולכן לפי [[קריטריון קרטן]] <math>\operatorname{Rad}(k)</math> פתיר.
 
''בכיוון ההפוך'', נניח ש-<math>k</math> רגולרית, כלומר <math>\operatorname{Rad}(k)=0</math>. [[תנאי מספיק]] (ובעצם שקול) להיותה של <math>L</math> פשוטה למחצה הוא שכל [[אידאלאידיאל (אלגברת לי)|אידאלאידיאל]] אבלי (אידאלאידיאל <math>I</math> המקיים <math>[I,I]=0</math>) הוא אפס (אכן, אם L לא פשוטה למחצה, אז הרדיקל שלה הוא פתיר ולא אפס, ואפשר לבחור את החזקה אחת לפני האחרונה ב[[אלגברת לי פתירה|סדרת הנגזרת]] שלו שיהיה אבלי ולא אפס).
 
אם כן יהי <math>I</math> אידאלאידיאל אבלי, נוכיח שהוא אפס. יהיו <math>x \in I, y \in L</math>, נביט במיפוי <math>\operatorname{ad}x \cdot \operatorname{ad}y:L \rightarrow I</math>. אזי המיפוי בריבוע הוא <math>{(\operatorname{ad}x \cdot \operatorname{ad}y)}^{2}:L \rightarrow [I,I]=0</math>, לכן <math>\operatorname{ad}x \cdot \operatorname{ad}y</math> [[איבר נילפוטנטי]], ולכן <math>k(x,y)=Tr(\operatorname{ad}x \cdot \operatorname{ad}y)=0</math>. כלומר <math>I \subseteq \operatorname{Rad}(k)=0</math>, ולכן הוא אפס.
 
== דוגמה ==