השערת קתה – הבדלי גרסאות

 

== השערת קתה ==

[[קובץ:Koethe2.svg|300px|ממוזער|שמאל|תכונות של חוג R ושל חוג הפולינומים מעליו (ראו הסבר בגוף הטקסט).]]

השערת קתה שואלת האם בכל חוג (אסוציאטיבי):

 

השערה זו שקולה לכל אחת מההשערות הבאות:

* לכל חוג נילי, גם חוג המטריצות <math>\operatorname{M}_2(R)</math> נילי.

* לכל חוג נילי R, חוג הפולינומים <math>\ R[x]</math> קוואזי-הפיך (כלומר שווה ל[[רדיקל ג'ייקובסון]] של עצמו; ידוע שחוג הפולינומים של חוג נילי שווה לרדיקל בראון-מק'קוי של עצמו).

*אם R חוג נילי אז <math>R[x]</math> איננו פרימיטיבי.

 

בדיאגרמה משמאל, השערת קתה (בגרסה "אם R נילי אז חוג הפולינומים מעליו נילי"), עם תוצאות קרובות. הרדיקלים המופיעים בדיאגרמה הם [[הרדיקל של ג'ייקובסון]], רדיקל Behrnes השווה לחיתוך הגרעינים של הומומורפיזמים לחוגים עם אידמפוטנט, ו[[רדיקל בראון-מקוי]]. החץ בירוק: השערת קתה. החצים המרוסקים מתארים גרירות טריוויאליות. החצים בכחול, משפטים (מלמעלה למטה: תוצאות של עמיצור, של Beidar-Fong-Puczylowsi 2001 ושל A.Smoktunowicz 1999). החצים באדום: גרירות שאינן נכונות (הבניה של חוג נילי שחוג הפולינומים מעליו אינו נילי היא של A.Smoktunowicz 2000).

 

 

== מקרים שבהם ההשערה מתקיימת ==

 

* בכל [[חוג עם זהויות]] <math>\ \overline{N}(R) = \operatorname{Nil}_*(R)</math>{{הערה|McConnel and Robson, 13.2.6}} (בחוג עם זהויות הנוצר סופית מעל חוג קומוטטיבי נתרי, אפילו <math>\ \operatorname{Jac}(R) = \operatorname{Nil}_*(R)</math>, משפט Razmyslov-Kemer-Braun).

** באלגברה אלגברית מעל שדה;

** באלגברה R שממדה מעל F קטן ממש מהעוצמה של F;

* באלגברה מונומיאלית נוצרת סופית (משום שרדיקל ג'ייקובסון הוא נילפוטנטי מקומית, Beidar and Fong, 1998).

 

 

== מקורות ==