משפט פוביני – הבדלי גרסאות

נוספו 6 בתים ,  לפני 3 שנים
מ
בוט החלפות: לעיתים, \1ליניארי
מ (בוט החלפות: לעיתים, \1ליניארי)
{{סימון מתמטי}}
 
'''משפט פוביני''' (נקרא לעתיםלעיתים: '''משפט פוביני־טונלי''') מספק נוסחה לחישוב של [[אינטגרל רב-ממדי]] של פונקציות, תחת תנאים מסוימים. את המשפט הוכיח [[גווידו פוביני]] בשנת [[1907]] עבור [[פונקציה אינטגרבילית|פונקציות אינטגרביליות]], והוא הוכח גם בידי [[לאונידה טונלי]] בשנת [[1909]] עבור פונקציות אי-שליליות.{{הערה|שני המקרים שקולים זה לזה, שכן כל פונקציה <math>f</math> ניתן לפרק ולהציג כהפרש של שתי פונקציות אי-שליליות מהצורה <math>f=f^{+}-f^{-}</math>, עבור <small><math>f^{+}=\max \{f,0\} , f^{-}=-\min \{f,0\} </math></small>.}}
 
הגרסה הנפוצה של המשפט עוסקת באינטגרציה של פונקציות [[אינטגרל רימן|אינטגרביליות רימן]] מהצורה <math>f:\mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}</math>, אולם גרסה זו היא מקרה פרטי של משפט כללי יותר העוסק באינטגרציה של פונקציות [[אינטגרל לבג|אינטגרביליות לבג]] מהצורה <math>f:X \times Y \to \mathbb{C}</math>, כאשר <math>X,Y</math> [[מרחב מידה|מרחבי מידה]] [[מידה סיגמא סופית|סיגמא סופיים]].
<math>\int_{X \times Y}1_Ed(\mu \times \nu) = \mu \times \nu (E) = \int_Y\nu(E^y)d\nu = \int_Y \left( \int_X \mu(E^y)d\nu \right) = \int_Y \left( \int_X f^yd\nu \right) </math>
</center>
[[פונקציה פשוטה|פונקציות פשוטות]] הן צירוף לינאריליניארי של פונקציות מציינות, ולכן המשפט נובע גם לגביהן מידית מלינאריותמליניאריות אינטגרל לבג. כעת, תוך שימוש ב[[משפט ההתכנסות המונוטונית]] ובעובדה שכל פונקציה מדידה היא גבול של סדרה מונוטונית של פונקציות פשוטות, קל להסיק את הטענה לכל פונקציה מדידה.
 
==הערות שוליים==