ויקיפדיה

I (מספר) – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
קצת שכתוב
שורה 1:
{{שם שגוי|''i'' (מספר)}}
[[קובץ:ImaginaryUnit5.svg|ממוזער|המיקום של i ושל i- על [[המישור המרוכב]], כאשרשבו הציר האופקי הוא המספרים הממשיים והציר האנכי הוא הציר המדומה]]
המספר '''''i''''', ידוע גם כ'''יחידת המספר המדומה ''i''''' או '''היחידה המדומה''', היא הפתרון ל[[משוואה ממעלה שנייה|משוואה הריבועית]]: <math>x^2+1=0</math>. כיווןמכיוון שאין מספר ממשי שמקיים את זהות זו, ותחת הנחת סגירות לחיבור ו[[כפל]] ב[[סקלר (מתמטיקה)|סקלר]] של היחידה הדמיונית, ניתן להרחיב את המישור הממשי על ידי הכללת היחידה הדמיונית במישור חדש, אשר כולל את היחידה הדמיונית – מישור [[מספריםמספר מרוכביםמרוכב|המספרים המרוכבים]]. החשיבות העיקרית של הוספת היחידה הדמיונית היא בעובדה שעל ידי הכללת היחידה הדמיונית כ[[צירוף ליניארי]] שלה עם המספר 1 ([[מישור גאוס]]), לכל פולינום מדרגה n יהיו n שורשים ([[המשפט היסודי של האלגברה]]). בהתאם לכך הפתרונות למשוואה שהוצגה יהיה ''i''+ או ''i''- ומציאתם על ידי הצבת הערכים ב[[נוסחת השורשים]].
 
==היסטוריה==
יצירתו של המספר i, ביחד עם המספרים המרוכבים הייתה בתחילת המאה ה־16, ומיוחסת ל[[ג'ירולמו קרדאנו]], שנעזר בהגדרתם לצורך פתרון של המשוואה ממעלה שלישית. המספרים הוגדרו במפורש, בשנת 1572 על ידי רפאל בומבלי. באותה עת נחשבו מספרים כאלה לא אמיתיים. מתמטיקאים התקשו לקבל את המושג החדש, והדבר בא לידי ביטוי גם בשם שניתן להם. דקארט, הראשון שהשתמש במושג "מספר מדומה" בשנת 1637, ו[[צירוף ליניארי]] שלהם עם מספרים ממשים (כלומר, כל מספר מהצורה <math>a+bi</math>, כאשר <math>a</math> ו־<math>b</math> הם ממשיים) נקרא מספר מרוכב. המספרים המרוכבים נכנסו למתמטיקה באופן מלא בעקבות עבודותיהם של [[אוילר]] ו[[גאוס]].
 
==הגדרה==
שורה 17:
==התנהגות של i בחזקות שלמות וגדולות מ־2==
 
:<math>i^3 = i^2 i = (-1) i = -i \,</math>
:<math>i^4 = i^3 i = (-i) i = -(i^2) = -(-1) = 1 \,</math>
:<math>i^5 = i^4 i = (1) i = i \,</math>
:ואםומכאן כך נוכל לזהותשקיימת מחזוריות, ולפיהוניתן נזההלהכליל ב[[אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה]] את ההתנהגות של ''i'' בחזקת n טבעי. כלשהו:
:<math>i^{4n4k} = 1\,</math>
:<math>i^{4n4k+1} = i\,</math>
:<math>i^{4n4k+2} = -1\,</math>
:<math>i^{4n4k+3} = -i.\,</math>
בדומה ניתן לומר:
:<math>i^0 = i^{1-1} = i^1i^{-1} = i^1\frac{1}{i} = i\frac{1}{i} = \frac{i}{i} = 1 \,</math>
:בהתאם לנאמר נוכל לקבוע זהות נוספת ביחס ל -''i '':
:<math>i^n = i^{n \bmod 4}\,</math>
:דרך אחרת לקבל תוצאות אלו היא באמצעות [[נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)|נוסחת אוילר]]
:<math>i^n = \cos(n\pi/2)+i\sin(n\pi/2)</math>
 
:וכאשרכאשר מעלים את i מחזקתבחזקת עצמו:
:<math>i^i = \left( e^{i (\pi/2 + 2k \pi)} \right)^i = e^{i^2 (\pi/2 + 2k \pi)} = e^{- (\pi/2 + 2k \pi)}</math>
:
 
==יחסי גומלין בין <math>i</math> ובין <math>-i</math> ==
מעצם היותם שני שורשים של אותה [[משוואה ממעלה שנייה|המשוואה הריבועית]]: <math>x^2+1=0</math> הם נקראים [[צמוד מרוכב|צמודים קומפלקסיםמרוכבים]], ומתקיים עבורם:
<math>\bar{i}=-i</math> (קרי: ''i'' צמוד שווה מינוס ''i'').
בנוסף שני המספרים הם גם נגדיים וגם הופכים אחד של השני, תכונה הכרחית לקיום תת־[[מרחב וקטורי]] המדומה:
<math>-i=1/i</math>
<math>i=-(-i)</math>
מאחר שפתרון המשוואה <math>x^2+1=0</math> היא ההגדרה ליחידה הדמיונית, שלה יש שני פתרונות, ניכרת בעייתיות מסוימת בהגדרה ולכן ישנו צורך לפתרון: שני שורשי המשוואה יהיו <math>\pm i</math> ונתייחס לאחד כיחידה הדמיונית ולשני המספר הנגדי\הופכי לו. לאור זאת, אין שוני אלגברי בהגדרתם הבסיסית, אך בהינתן בחירה של שתי יחידות אלו נוכל להגדיר את יחסי הגומלין לעיל.▼
 
▲מאחרבנוסף, שפתרוןשני המספרים הם גם נגדיים וגם הופכים אחד של השני, תכונה הכרחית לקיום תת־[[מרחב וקטורי]] המדומה: <math>-i=1/i</math>, <math>i=-(-i)</math>. מאחר המשוואהשלמשוואה <math>x^2+1=0</math>, היאאשר ההגדרהמגדירה ליחידהאת הדמיונית,היחידה שלההמדומה, יש שני פתרונות, ניכרתקיימת בעייתיות מסוימת בהגדרה. ולכןעם ישנוזאת, צורךאם לפתרון:בוחרים שניבאחד שורשימהם המשוואה יהיו <math>\pmלהיות ''i</math>'', ונתייחסאז לאחדהאחר כיחידההוא הדמיונית ולשניבהכרח המספר הנגדי\הופכי (וההופכי) לו. לאור זאת, אין שוני אלגברי בהגדרתם הבסיסית, אך בהינתן בחירה של שתי יחידות אלו נוכל להגדיר את יחסי הגומלין לעיל.
==מעברים מתמטיים שלא ניתן להפעיל על <math>i</math>==
* אין לאחד כפל של שורשים שמהווים מספר מדומים לכדי שורש אחד:
<math>-1 = i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1</math> ;''(סתירה)''.▼
* בדומה כפל בהופכי, משמע חילוק:
<math>\frac{1}{i} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} = \sqrt{\frac{1}{-1}} = \sqrt{\frac{-1}{1}} = \sqrt{-1} = i</math> ;''(סתירה)''.
 
== שורשים של <math>i</math> ==▼
או בצורה כללית:
מהסעיף הקודם נובע שנדרשת זהירות כאשר מבקשים להוציא שורש של מספר מרוכב בכלל, ובפרט של היחידה המדומה: במספרים הממשיים, ה[[טווח של פונקציה|טווח]] של השורש מוגדר להיות המספרים האי־שליליים, אבל במספרים המרוכבים אין דרך לשמור על העקרון בצורה פשוטה. למשל, אילו היה ניתן להגדיר את השורש בצורה עקבית עם המקובל במספרים הממשיים, היה מתקבל:
<math>\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \neq \sqrt{a \cdot b}</math>
▲:<math>-1 = i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1</math> ;''(סתירה)''.
שהיא סתירה.
 
במקום זאת, לפונקציות מרוכבות רבות (ביניהן: שורש, לוגריתם ולפעמים אפילו חזקה) מוגדרים [[ענף (מתמטיקה)|ענפים]] שונים, כך שכל אחד מהם הוא [[פונקציה רציפה (אנליזה)|פונקציה רציפה]]. בפרט, לכל מספר יכולים להיות כמה שורשים שונים.
<math>\frac{\sqrt{a}} {\sqrt{b}} \neq \sqrt{\frac{a}{b}}</math>
 
=== שורשים ריבועיים ===
מעברים אלו תקפים במישור הממשי אך לא במרוכב. [[פונקציות מרוכבות]] מתנהגות בצורה שונה בהרבה מפונקציות ממשיות, בין השאר כנגזרת לאיסור על מעברי בסיס אלו.
 
▲== שורשים של <math>i</math> ==
[[קובץ:Imaginary2Root.svg|ממוזער|200px|ייצוג השורשים הריבועיים של i במישור המרוכב]]
[[קובץ:Imaginary3Root.svg|ממוזער|200px|ייצוג של השורשים של i ממעלה 3 על המישור המרוכב]]
ל <math>i</math> יש שני שורשים ריבועיים שהם:<!-- {{הערה|[http://www.blackpast.org/aah/haynes-martha-euphemia-lofton-1890-1980 מקור1]}} המקור לא תומך בטענה-->
 
:<math> \pm \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i \right) = \pm \frac{\sqrt{2}}2 (1 + i). </math>
 
;הוכחה
נוכיח את נכונות הטענה:
 
:<math>
\begin{align}
\left( \pm \frac{\sqrt{2}}2 (1 + i) \right)^2 \ & = \left( \pm \frac{\sqrt{2}}2 \right)^2 (1 + i)^2 \ \\
שורה 73 ⟵ 65:
\end{align}
</math>
ולכן נוכל לכתוב
:<math> \sqrt{i} = \frac{\sqrt{2}}2 (1 + i). </math>
 
=== ל <math>i</math> יש שלושה שורשים ממעלה שלישית ===
:<math>-i,</math>
:<math>+\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2},</math>
:<math>-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}.</math>
 
:נוכל ל הכליל את שורשי i ממעלה n כאשר השורשים מסודרים באופן אחיד אם הפרשי פאזה שווים על מעגל היחידה, כאשר הפאזה נקבעת לפי <math>2\pi k/n</math>, כלומר השורש ממעלה n, מספר k של i יהיה:
=== באופן כללי ===
:<math>exp(2 \pi ki/n)</math>
לפי [[המשפט היסודי של האלגברה]], לכל מספר מרוכב יש בדיוק n שורשים ממעלה n. עבור ''i'', השורשים ממעלה n הם n מספרים על מעגל היחידה, וביניהם הפרשי פאזה שווים, שכל אחד מהם הוא <math>2\pi/n</math>. ליתר דיוק, השורש ה-k ממעלה n של i הוא <math>e^{2 \pi k i/n}</math>.
 
==פעולות נוספות שכוללות את <math>i</math>==
:;כפל של i במספר מרוכב:
:<math>i\,(a + bi) = ai + bi^2 = -b + ai.</math>
;הופכי של i:
:<math>\frac{1}{i} = \frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i.</math>
 
;חילוק ב i:
:<math>\frac{a + bi}{i} = -i\,(a + bi) = -ai - bi^2 = b - ai. </math>
:שקול לסיבוב המספר המרוכב בפאזה של 90 מעלות.
:עצרת ▼
 
▲:;עצרת
:<math>i! = \Gamma(1+i) \approx 0.4980 - 0.1549i.</math>
 
וכן
:<math>|i!| = \sqrt{\pi \over \sinh \pi} </math>{{הערה|{{קישור כללי|כתובת=http://www.wolframalpha.com/input/?i=abs(i!)|כותרת=abs(i!)"|אתר=באתר ''WolframAlpha''}}}}
 
=== פעולות נוספות ===
:<math> \!\ x^{ni} = \cos(n\ln x) + i \sin(n\ln x ).</math>
 
:<math>\sqrt[ni]{x} = \cos\left( \frac{\ln x}{n}\right) - i \sin\left(\frac{\ln x}{n}\right).</math>
 
:<math> \!\ \sqrt[ni]{log_i(x}) = \cos\left({{2 \frac{\ln x }{n} \right) -over i \sin\left(\frac{\ln xpi}{n}\right).</math>
 
:<math>\cos(i) = \log_icosh(x1) = {{2e + 1/e} \lnover x2} = {{e^2 + 1} \over i\pi2e} \approx 1.54308064... .</math>
 
:<math> \cossin(i) = i\coshsinh(1) \, = {{e +- 1/e} \over 2} \, i = {{e^2 +- 1} \over 2e} \, i \approx 1.5430806417520119 \, i... .</math>
 
:<math> \sin(i) = i\sinh(1) \, = {{e - 1/e} \over 2} \, i = {{e^2 - 1} \over 2e} \, i \approx 1.17520119 \, i... .</math>
:נשים לב שכל הפעולות האלו נבחרו ביחס לענף הראשי של הפונקציות הרב ערכיות במישור המרוכב.
 
== סימונים שונים ==
בענפי מדע רבים, כגון [[הנדסת חשמל]], נוהגים להחליף את השם של היחידה המדומה מ־''i'' ל־''j'', עקב החשש לבלבול בסימון בין היחידה הדמיונית וה[[זרם חשמלי|זרם החשמלי]] שגם הוא מסומן ב־''i'' קטנה. בהתאם לכך, שפת התכנות "[[פייתון]]" מסמנת את היחידה המדומה ב־j, ושפת התכנות [[MATLAB]] מקבלת את שני הסימונים.
 
חלק מספרי הלימוד משמשיים באות היוונית [[יוטא]]: <math>(\iota)</math> כדי למנוע בלבול עם אינדקסים שמסומנים באות הלטינית i.
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/I_(מספר)"