סדרה (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות

מקובל לסמן את אברי הסדרה בסימון <math>\ a_1,a_2,a_3,\ldots</math> ובקיצור <math>\left\{(a_n\right\)}_{n=1}^{\infty}</math>, או <math>\ x_1,x_2,x_3,\ldots</math> וכדומה. בסימון <math>\!\, a_n</math>, האות a הוא סימן המציין את הסדרה שהאיבר שייך אליה, ו-n הוא [[אינדקס (מתמטיקה)|אינדקס]], המציין את מספרו הסידורי של האיבר בסדרה. למשל, בסדרה של ה[[מספר טבעי|מספרים הטבעיים]] <math>\left\{(a_n\right\)}_{n=1}^{\infty}=\left\{ (1,2,3... \right\)}</math> מתקיים <math>\!\, a_1=1, a_2=2, a_3=3...</math>.

סדרה שאבריה הם [[מספר ממשי|מספרים ממשיים]] נקראת '''סדרה ממשית'''. על סדרות כאלה אפשר להחיל את מושג המונוטוניות: סדרה היא '''עולה ממש''' אם לכל אינדקס <math>n</math> מתקיים <math>\!\, a_n<a_{n+1}</math>, ו'''עולה''' (או "לא יורדת") אם מתקיים <math>\!\, a_n\le a_{n+1}</math>. באותו אופן אומרים שהסדרה '''יורדת ממש''' אם מתקיים <math>\!\, a_n>a_{n+1}</math> ושהיא '''יורדת''' (או "לא עולה") אם מתקיים <math>a_n\ge a_{n+1}</math>. בשני המקרים הללו אומרים שהסדרה '''מונוטונית'''. סדרה שהיא גם עולה וגם יורדת מוכרחה להיות '''סדרה קבועה''', כלומר סדרה שכל איבריה זהים. לא כל סדרה היא מונוטונית, אבל לכל סדרה קיימת [[תת-סדרה]] מונוטונית.

תת-סדרה היא סדרה המכילה, לפי הסדר, איברים השייכים לסדרה אחרת. בצורה פורמלית, אם <math>\left\{(a_n\right\)}</math> היא סדרה, וקיימת סדרה עולה ממש <math>\left\{(n_k\right\)}</math> שאבריה הם קבוצה חלקית לקבוצת הסודרים של הסדרה המקורית, אז <math>\left\{(a_{n_k}\right\})</math> היא תת-סדרה של <math>\left\{(a_n\right\})</math> לפי [[משפט בולצאנו-ויירשטראס]], לכל סדרה ממשית חסומה יש תת-סדרה מתכנסת. מנקודת מבט [[טופולוגיה|טופולוגית]], אפשר לתרגם זאת לטענה שכל תת-קבוצה סגורה וחסומה בישר הממשי היא [[קומפקטיות|קומפקטית סדרתית]].