אקסיומות המנייה – הבדלי גרסאות

מ
זוטות
מ (←‏אקסיומות המנייה: ועדת קישוט)
מ (זוטות)
 
נאמר כי מרחב טופולוגי <math>\,X</math> מקיים את '''אקסיומת המנייה הראשונה''' אם לכל נקודה ב-<math>\,X</math> קיים בסיס בן מנייה.
תכונה זו מתקיימת בכל מרחב מטרי (הכדורים ברדיוס <math>\ 1/n</math> סביב נקודה מהווים בסיס מקומי), והיא נועדה ללכוד את ההתנהגות המקומית של מרחב מטרי. מרחב המקיים אקסיומה זו מסומן ב-<math>\ C_{I}</math>.
 
===האקסיומה השנייה===
נאמר כי [[מרחב טופולוגי]] <math>\,X</math> מקיים את '''אקסיומת המנייה השנייה''' אם ל-<math>\,X</math> יש [[בסיס לטופולוגיה|בסיס]] [[בן מנייה]] לטופולוגיה. מרחב המקיים אקסיומה זו מסומן ב-<math>\ C_{II}</math>.
 
כמובן שכל מרחב <math>\ C_{II}</math> הוא בפרט <math>\ C_{I}</math> (כדי לקבל בסיס מקומי סביב <math>\,p</math>, מספיק לבחור את אותם אברים של הבסיס המכילים את <math>\,p</math>). מרחב מטרי [[מרחב חסום כליל|חסום כליל]] הוא <math>\ C_{II}</math>.
לאלה אפשר להוסיף תכונה קרובה:
* מרחב טופולוגי הוא מרחב '''ספרבילי''', אם יש בו [[קבוצה צפופה]] בת מנייה.
כל מרחב <math>\ C_{II}</math> הוא ספרבילי (כדי לקבל קבוצה צפופה בת מנייה מספיק לבחור נקודה אחת מכל קבוצה בבסיס). במרחב מטרי גם ההיפך נכון, דהיינו, כל מרחב ספרבילי הוא <math>\ C_{II}</math>.
 
נזכיר שמרחב [[קומפקטיות|קומפקטי]] הוא מרחב שבו לכל כיסוי קיים תת-כיסוי סופי. יש שלוש תכונות חלשות יותר: [[תכונת לינדלוף]] קובעת שלכל כיסוי יש תת-כיסוי בן מנייה, ולעומתה '''קומפקטיות מנייתית''' היא הדרישה שלכל כיסוי בן-מנייה יש תת-כיסוי סופי (ביחד הן כמובן שקולות לקומפקטיות). בנוסף לזה, במרחב קומפקטי לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת, וזה נקרא לפעמים '''קומפקטיות סדרתית'''.