הבדלים בין גרסאות בדף "אקסיומות המנייה"

בקרת נזקים
מ (זוטות)
(בקרת נזקים)
'''אקסיומות המנייה''' הן הנחות המתייחסות לגודל של [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצות]] מיוחדות ב[[מרחב טופולוגי]], ובפרט להנחה שקבוצות אלו הן [[קבוצה בת מנייה|בנות מנייה]]. מרחבים אשר מקיימיםבעלי תכונות אלהמנייה חזקות הם מרחבים אשר מספר הקבוצות הפתוחות בהם הוא 'קטן', במובן מסויםמסויים, קטנים יותר, ולכן מרחבים אלה קלים יותר לטיפול.
 
'''אקסיומת המנייה הראשונה''' קובעת שלכלשסביב כל נקודה במרחב הטופולוגי יש בסיס סביבותמקומי בן מנייה. אקסיומה זו מתקיימת, למשל, בכל [[מרחב מטרי]].
 
בניגוד לאופי המקומי של האקסיומה הראשונה, '''אקסיומת המנייה השנייה''' קובעת שלמרחב עצמו יש בסיס בן מנייה. האקסיומה השנייה גוררת את האקסיומה הראשונה, והיא מתקיימת במרחב מטרי [[מרחב חסום כליל|חסום כליל]]. מצד שני, מרחב טופולוגי המקיים את האקסיומה השנייה והינווגם את [[אקסיומות ההפרדה|אקסיומת ההפרדה]] [[מרחב T3|T3]] הוא מרחב [[מטריזביליות|מטריזבילי]] (כלומר, מרחבהטופולוגיה זהשלו [[הומיאומורפיזם|הומיאומורפי]]מושרית מ[[מרחב מטרי|למרחב מטרימטריקה]] מתאימה). לפי [[משפט המטריזציה של אוריסון|משפט אוריסון]].
 
==בסיס ובסיס מקומי של טופולוגיה==
 
כידוע, 'מרחב טופולוגי' כולל שני מרכיבים: מרחב, ואוסף של תת-קבוצות שלו, הנקראות 'קבוצות פתוחות'. כדי לחסוך בתאור אוסף הקבוצות הפתוחות, אפשר להסתפק בתאור של בסיס: אוסף של קבוצות פתוחות הוא [[בסיס לטופולוגיה|בסיס]] לטופולוגיה הנתונה, אם כל קבוצה פתוחה מהווה [[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]] של קבוצות מן הבסיס; במלים אחרות, סביב כל נקודה בכל קבוצה פתוחה U, קיימת קבוצה מן הבסיס הכוללת את הנקודה ומוכלת בקבוצה. אוסף של קבוצות פתוחות הוא [[בסיס מקומי לטופולוגיה|בסיס מקומי]] בנקודה p, אם כל קבוצה פתוחה המכילה את p מכילה קבוצה מן האוסף. מכאן יוצא שאוסף קבוצות פתוחות הוא בסיס, אם ורק אם הוא מהווה בסיס מקומי בכל נקודה.
מכאן יוצא שאוסף קבוצות פתוחות הוא בסיס, אם ורק אם הוא מהווה בסיס מקומי בכל נקודה.
 
==אקסיומות המנייה==
===האקסיומה הראשונה===
נאמר כי ל[[מרחב טופולוגי]] <math>\,X</math> קיים '''בסיס בן מנייה''' בנקודה <math>\,y</math> אם קיים אוסף [[בן מנייה]] <math>\mathbb{B}</math> של סביבות של <math>\,y</math> כך שכל סביבה של <math>\,y</math> מכילה לפחות סביבה אחת מ-<math>\mathbb{B}</math>.
 
נאמר כי מרחב טופולוגי <math>\,X</math> מקיים את '''אקסיומת המנייה הראשונה''' אם לכל נקודה ב-שלו יש בסיס מקומי בן מנייה. תכונה זו, הנקראת גם "תכונת <math>\ C_{I}</math>",X מתקיימת בכל מרחב מטרי (הכדורים ברדיוס <math>\ 1/n</math> קייםסביב נקודה מהווים בסיס מקומי), ולכן אפשר לראות בה תנאי ל"התנהגות מטרית" באופן מקומי. קיומו של בסיס בן מנייהמניה מאפשר לסדר את אברי הבסיס, ולבנות סדרות בעלות תכונות שונות באינדוקציה.
תכונה זו מתקיימת בכל מרחב מטרי (הכדורים ברדיוס <math>\ 1/n</math> סביב נקודה מהווים בסיס מקומי), והיא נועדה ללכוד את ההתנהגות המקומית של מרחב מטרי. מרחב המקיים אקסיומה זו מסומן ב-<math>\ C_{I}</math>.
 
נאמר כי [[מרחב טופולוגי]] <math>\,X</math>המרחב מקיים את '''אקסיומת המנייה השנייה''' אם ל-<math>\,X</math> יש לו [[בסיס לטופולוגיה|בסיס]] [[בן מנייה]] לטופולוגיה. מרחבתכונה המקייםזו אקסיומה זומסמנים מסומןגם ב-<math>\ C_{II}</math>.
===האקסיומה השנייה===
נאמר כי [[מרחב טופולוגי]] <math>\,X</math> מקיים את '''אקסיומת המנייה השנייה''' אם ל-<math>\,X</math> יש [[בסיס לטופולוגיה|בסיס]] [[בן מנייה]] לטופולוגיה. מרחב המקיים אקסיומה זו מסומן ב-<math>\ C_{II}</math>.
 
כמובן שכלכל מרחב <math>\ C_{II}</math> הוא בפרט <math>\ C_{I}</math> (כדי לקבל בסיס מקומי סביב <math>\,p</math>, מספיק לבחור את אותם אברים של הבסיס המכילים את <math>\,p</math>). מרחב מטרי [[מרחב חסום כליל|חסום כליל]] הוא <math>\ C_{II}</math>.
 
לאלה אפשר להוסיף תכונה קרובה:
כל מרחב <math>\ C_{II}</math> מקיים את [[תכונת לינדלוף]]. במרחב מטרי גם הכיוון ההפוך נכון: תכונת לינדלוף גוררת <math>\ C_{II}</math>.
 
המשפט המרכזי על מרחבי <math>\ C_{II}</math> הוא [[משפט המטריזציה של אוריסון]], שלפיו מרחב כזה, המקיים גם את [[מרחב T3|תכונת ההפרדה T3]], הוא מטריזבילי.
 
=== מרחב לינדלוף ===
[[מרחב טופולוגי]] בו לכל [[כיסוי]] פתוח יש תת כיסוי [[בן מנייה]] נקרא '''מרחב לינדלוף'''.
 
==לקריאה נוספת==