אקסיומות ההפרדה – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ סקריפט החלפות (,), ניסוח
מ ניסוח
שורה 55:
במרחב נורמלי, כפי שציינו לעיל, אפשר להפריד בין כל שתי קבוצות סגורות באמצעות פונקציה רציפה. יש שתי דרכים לחזק את הדרישה הזו: לדרוש הפרדה בין יותר זוגות של קבוצות, או הפרדה באופן מוצלח יותר מסתם הפרדה באמצעות פונקציה.
 
'קבוצות מופרדות' הן קבוצות <math>\ A,B</math> במרחב טופולוגי, שכל אחת מהן זרה לסגור של רעותה (ישנו קשר מסוים בין מונח זה לבין אקסיומות ההפרדה, אבל הוא אינו הדוק במיוחד). כל שתי קבוצות סגורות וזרות הן כמובן מופרדות, ולכן הפרדה בין קבוצות מופרדות היא משימה קשה יותר (אפילו בהיעדר ההנחה <math>\ T_0</math>).
* מרחב שבו אפשר להפריד כל שתי קבוצות מופרדות באמצעות קבוצות פתוחות, נקרא [[מרחב נורמלי לחלוטין]], או '''מרחב נורמלי תורשתי'''.
במרחב כזה, כל תת-מרחב הוא נורמלי ב[[הטופולוגיה המושרית|טופולוגיה המושרית]].
שורה 64:
* מרחב שבו אפשר להפריד כל שתי קבוצות סגורות '''הפרדה מדויקת''' באמצעות פונקציה, נקרא [[מרחב נורמלי באופן מושלם]] (perfectly normal).
 
מרחב נורמלי באופן מושלם הוא כמובן נורמלי, ואף נורמלי לחלוטין (את זה קצת קשה יותר להוכיח). במרחב נורמלי באופן מושלם, כל קבוצה סגורה היא קבוצת <math>\ G_\delta</math> (או באופן שקול: כל קבוצה פתוחה היא קבוצת <math>\ F_\sigma</math>). תכונה זו מאפיינת מרחבים נורמליים באופן מושלם.
* מרחב נורמלי באופן מושלם שהוא גם <math>\ T_1</math>, נקרא '''מרחב <math>\ T_4</math> באופן מושלם''', או '''מרחב <math>\ T_6</math>'''.
כל מרחב <math>\ T_6</math> הוא בפרט מרחב <math>\ T_5</math>.