מטריצה – הבדלי גרסאות

נוספו 342 בתים ,  לפני 3 שנים
מ (בוט החלפות: \1ליניארי)
כדי לתאר העתקה ליניארית באופן מלא, מספיק לדעת לאן היא מעבירה וקטורי בסיס של התחום. בעזרת מידע זה ותכונת הליניאריות של ההעתקה, ניתן לדעת לאן עובר כל וקטור, כפי שנדגים מיד.
 
נניח כי <math>\,T</math> היא העתקה ליניארית <math> \ T : V \rightarrow W </math>, ונניח גם שנתונים <math> \ B= \{\vec{v_1},...,\vec{v_n}\}</math> בסיס ל <math> \ V</math>, ו-<math> \ C= \{\vec{w_1},...,\vec{w_m}\}</math> בסיס ל <math> \ W</math> (ברור כי ממדי המרחבים הם <math>\,n</math> ו-<math>\,m</math> בהתאמה).
 
עתה, נניח כי אנו יודעים איך פועלת ההעתקה על וקטורי הבסיס <math> \ \vec{v_i} </math>. משמע, אנו יודעים לייצג כל וקטור <math> \ Tv_iT\vec{v_i} \in W</math> על פי הבסיס <math> \ C</math>. נכתוב זאת במפורש:
 
<math>\ Tv_1T\vec{v_1} =a_c_{1,1} \vec{w_1} + a_c_{2,1} \vec{w_2} +...+a_c_{m,1}\vec{w_m} </math>
 
<math>\ Tv_2T\vec{v_2} =a_c_{1,2} \vec{w_1} + a_c_{2,2} \vec{w_2} +...+a_c_{m,2}\vec{w_m} </math>
 
<math>\ Tv_3T\vec{v_3} =a_c_{1,3} \vec{w_1} + a_c_{2,3} \vec{w_2} +...+a_c_{m,3}\vec{w_m} </math>
 
וכך הלאה עד
 
<math>\ Tv_nT\vec{v_n} =a_c_{1,n} \vec{w_1} + a_c_{2,n} \vec{w_2} +...+a_c_{m,n}\vec{w_m} </math>
 
בעזרת מידע זה בלבד, נוכל לדעת עבור כל <math>\ \vec{v} \in V</math> את <math>\ TvT\vec{v}</math> על ידי שימוש בליניאריות. ניקח וקטור כלשהו <math> \ \vec{v} \in V </math>, שייצוגו לפי הבסיס <math> \ B </math> הוא
 
<math> \ \vec{v} = c_1b_1 \vec{v_1} + c_2b_2 \vec{v_2}+ ... + c_nb_n \vec{v_n} </math>, נשתמש בליניאריות כדי לקבל
 
<math> \ TvT\vec{v} = T(\sum_{i=1}^n c_ib_i \vec{v_i}) = \sum_{i=1}^n c_ib_i T(\vec{v_i}) </math>
 
אך כפי שאמרנו, אנו יודעים בדיוק למה שווה כל <math> \ T(\vec{v_i})</math>, ולכן נציב ונקבל
 
<math> \ TvT\vec{v} = \sum_{i=1}^n c_ib_i ( a_c_{1,i} \vec{w_1} + a_c_{2,i} \vec{w_2} +...+a_c_{m,i}\vec{w_m} ) = \sum_{i=1}^n c_ib_i ( \sum_{j=1}^m a_c_{j,i} \vec{w_j})</math>.
 
נקבץ את המקדמים של כל <math>\ \vec{w_j}</math>, ונקבל
 
<math> \ TvT\vec{v} = (\sum_{i=1}^n c_ib_i a_c_{1,i})\vec{w_1} + (\sum_{i=1}^n c_ib_i a_c_{2,i})\vec{w_2} +...+ (\sum_{i=1}^n c_ib_i a_c_{m,i})\vec{w_m} </math>
 
בכתיבה פשוטה יותר, וקטור הקואורדינטות של <math> \ TvT\vec{v} </math> לפי הבסיס <math>\ C</math> הוא
 
<math>\ [TvT\vec{v}]_C = (\sum_{i=1}^n c_ib_i a_c_{1,i}, \sum_{i=1}^n c_ib_i a_c_{2,i}, ..., \sum_{i=1}^n c_ib_i a_c_{m,i})</math>
 
הסימון <math> \ [TvT\vec{v}]_C </math> משמעו וקטור הקואורדינטות של הווקטור <math> \ \vec{Tv}</math> לפי הבסיס <math> \ C</math>.
 
כך אנו יודעים כיצד פועלת ההעתקה על וקטור כלשהו <math> \ \vec{v}</math>. נשים לב כי לאחר שבחרנו בסיסים, מספיק לדעת את המקדמים <math>\ a_{i,j} </math> כדי להגדיר את ההעתקה ואין צורך ברצף המשוואות המסורבל המופיע למעלה, בתנאי שמסכימים מראש על הסדר. המוסכמה המקובלת היא כי המטריצה המייצגת את ההעתקה לפי הבסיסים הנתונים היא
 
<math>[T]^B_C = \begin{bmatrix}
a_c_{1,1} & a_c_{1,2} & a_c_{1,3} & ... & a_c_{1,n} \\
a_c_{2,1} & a_c_{2,2} & a_c_{2,3} & ... & a_c_{2,n} \\
a_c_{3,1} & a_c_{3,2} & a_c_{3,3} & ... & a_c_{3,n} \\
: & : & : &\ddots & : \\
a_c_{m,1} & a_c_{m,2} & a_c_{m,3} & ... & a_c_{m,n} \\
\end{bmatrix}</math>
 
* במפורש: האיבר ה-<math>\ a_{i,j}</math> במטריצה הוא המקדם ה-<math>\,i</math> בווקטור הקואורדינטות של התמונה של הווקטור ה-<math>\,j</math> בבסיס <math>\,B</math>, בייצוג על פי הבסיס <math>\,C</math>. מטריצה מסדר <math>\ m \times n</math> מייצגת העתקה ממרחב <math>\,n</math>-ממדי למרחב <math>\,m</math>-ממדי.
 
מציאת התמונה של וקטור כלשהו, הופכת עתה לפעולה פשוטה של [[כפל מטריצות]]. אם ניקח וקטור כלשהו <math>\ \vec{v} \in V</math>, שייצוגו על פי <math>\,B</math> הוא
 
<div style="text-align: center;">
<math> \ \vec{v} = c_1b_1 \vec{v_1} + c_2b_2 \vec{v_2}+ ... + c_nb_n \vec{v_n} </math>,
</div>
 
 
<div style="text-align: center;">
<math> [\vec{T(v)}]_C = [T]^B_C \cdot [\vec{v}]_B = \begin{bmatrix}
a_c_{1,1} & a_c_{1,2} & a_c_{1,3} & ... & a_c_{1,n} \\
a_c_{2,1} & a_c_{2,2} & a_c_{2,3} & ... & a_c_{2,n} \\
a_c_{3,1} & a_c_{3,2} & a_c_{3,3} & ... & a_c_{3,n} \\
: & : & :& \ddots & : \\
a_c_{m,1} & a_c_{m,2} & a_c_{m,3} & ... & a_c_{m,n} \\
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
c_1b_1 \\
c_2b_2 \\
c_3b_3 \\
: \\
c_nb_n \\
\end{bmatrix}
</math>
</div>
 
הסימון <math> \ [\vec{v}]_B </math> משמעו וקטור הקואורדינטות של הווקטור <math> \ \vec{v}</math> לפי הבסיס <math> \ B</math>.
 
===ההתאמה בין ההעתקות למטריצות===
משתמש אלמוני