אינוולוציה (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות

{{פירוש נוסף|נוכחי=פונקציה הופכית לעצמה|אחר=אינבולוציהאינוולוציה ב[[תורת החוגים]]|ראו=[[אינבולוציהאינוולוציה (תורת החוגים)]]}}

[[קובץ:Involution.svg|250px|ממוזער|שמאל|הפעלת אינבולוציהאינוולוציה פעמיים מחזירה את האיבר המקורי]]

ב[[מתמטיקה]], '''אינבולוציהאינוולוציה''' היא [[פונקציה]] שהיא ה[[פונקציה הפוכה|הופכית]] של עצמה. באופן פורמלי, זו פונקציה [[חד חד ערכית]] בין שתי [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצות]] <math>f:A \to B</math>, המקיימת את התכונה <math>f(f(x)) = x</math> לכל <math>x \in A</math>.

בתחומים מסוימים במתמטיקה ל"אינבולוציהאינוולוציה" יש משמעות מסוימת בהקשר בה היא מוגדרת. כך למשל ב[[תורת החבורות]], כל איבר מ[[סדר (תורת החבורות)|סדר]] 2 הוא אינבולוציהאינוולוציה (למעשה איבר <math>g \in G</math> הוא אינבולוציהאינוולוציה אם ורק אם ה[[הומומורפיזם של חבורות|הומומורפיזם]] <math>x \mapsto gx</math> הוא אינבולוציהאינוולוציה כפונקציה). דוגמה אחרת היא ב[[תורת הקבוצות]], שם אינבולוציהאינוולוציה היא הפעולה של לקיחת [[משלים של קבוצה]], או באופן פורמלי יותר במסגרת של [[לוגיקה מתמטית]], פעולת המשלים ב[[אלגברה בוליאנית]] היא אינבולוציהאינוולוציה.

מן ההגדרה נובע שאינבולוציותשאינוולוציות הן תמיד [[פעולה אונרית|פעולות אונריות]] [[פונקציה חד-חד-ערכית ועל|חד-חד-ערכיות ועל]], כלומר [[תמורה (מתמטיקה)|תמורות]]. תמורה היא אינבולוציהאינוולוציה [[אם ורק אם]] בפירוק שלה למחזורים זרים מופיעים רק [[תמורה (מתמטיקה)#חילוף|חילופים]] ו[[נקודת שבת|נקודות שבת]].

מספר האינבולוציותהאינוולוציות שמוגדרות על [[קבוצה סופית]] של n איברים נקרא [[מספר טלפון (מתמטיקה)|מספר טלפון]] ה-n-י ({{OEIS|A000085}}). מספרים אלו מקיימים את [[נוסחת נסיגה|נוסחת הנסיגה]]:

הוכחה: נניח [[ללא הגבלת הכלליות]] שהקבוצה היא <math>\{1,\ldots,n\}</math>. יש <math>a_{n-1}</math> אינבולוציותאינוולוציות שבהן n [[נקודת שבת]] (כל אינבולוציהאינוולוציה כזו מתאימה לאינבולוציהלאינוולוציה אחת על <math>\{1,\ldots,n-1\}</math>). יש <math>a_{n-2}</math> אינבולוציותאינוולוציות שבהן n עובר ל-<math>k\ne n</math> (כל אינבולוציהאינוולוציה כזו מתאימה לאינבולוציהלאינוולוציה אחת על <math>\{1,\ldots,k-1,k+1,\ldots,n-1\}</math>). יש <math>n-1</math> ערכים אפשריים ל-<math>k\ne n</math>. ▯

*[[פונקציית הזהות]] היא אינבולוציהאינוולוציה באופן טריוויאלי.

*ה[[פונקציה ממשית|פונקציות הממשיות]] <math>-x</math> ו-<math>x^{-1}</math>. אלו דוגמאות פרטיות לפעולת [[איבר הופכי|לקיחת הופכי]] ב[[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]], שהיא תמיד אינבולוציהאינוולוציה.

*באופן כללי פונקציה ממשית היא אינבולוציהאינוולוציה אם ורק אם ה[[גרף של פונקציה|גרף]] שלה סימטרי ביחס לישר x=y.

*פעולת ה[[צמוד מרוכב|הצמדה]] של [[מספר מרוכב]] ופעולת ה[[שחלוף (מתמטיקה)|שחלוף]] ופעולת [[מטריצה צמודה|הצמדה]] של [[מטריצה]]. באופן כללי, כל [[אינבולוציהאינוולוציה (תורת החוגים)|אינבולוציהאינוולוציה במובן של תורת החוגים]] היא אינבולוציהאינוולוציה במובן הכללי.

*מבין ה[[איזומטריה|איזומטריות]] של ה[[מישור (גאומטריה)|מישור]] האינבולוציותהאינוולוציות הן: פונקציית הזהות, כל [[שיקוף (מתמטיקה)|שיקוף]] וכל [[סיבוב]] של 180 מעלות.

*פעולת ה[[שלילה (לוגיקה)|שלילה]] ב[[לוגיקה]] היא אינבולוציהאינוולוציה. באופן דומה, כך גם פעולת ה[[משלים (מתמטיקה)|משלים]] ב[[תורת הקבוצות]].

*הצפנה באמצעות מכונת [[אניגמה]] היא אינבולוציהאינוולוציה – תהליך הפענוח של טקסט מתבצע על ידי הפעלה חוזרת של המכונה על הטקסט המוצפן.