פונקציונל – הבדלי גרסאות

פונקציונל שהנורמה שלו סופית נקרא "פונקציונל חסום". יש להבחין כי אין זה אומר שתמונת הפונקציונל היא [[קבוצה חסומה]] במובן הרגיל. לא קשה לראות כי פונקציונל הוא חסום במובן זה שהנורמה שלו סופית, אם ורק אם הוא [[פונקציה רציפה|רציף]].

 

 

[[משפט ההצגה של ריס]] מסייע להבנת המבנה של המרחב הדואלי. למשפט כמה גרסאות, והיסודית שבהן קובעת כי מעל [[מרחב הילברט]], כל הפונקציונלים החסומים הם מכפלה פנימית עם איבר. כלומר, אם <math>\ f</math> הוא פונקציונל חסום מעל מרחב הילברט, אז קיים <math>\ y</math> במרחב כך ש-<math>\ f(x)=\langle x,y\rangle</math>. במקרה זה לא קשה לראות מ[[אי שוויון קושי שוורץ]] כי <math>\ \| f\|=\|y \|</math> (כאשר הנורמה משמאל היא נורמה אופרטורית והנורמה מימין היא הנורמה המתקבלת מהמכפלה הפנימית).