משפט החיתוך של קנטור – הבדלי גרסאות

 
==ניסוח המשפט==
 
יהא <math>\!\,X</math> מרחב מטרי. אז המרחב שלם אם ורק אם לכל סדרה <math>\left\{A_n\right\}_n</math> של קבוצות סגורות לא ריקות, כך שמתקיים <math>\!\, A_1\supseteq A_2\supseteq A_3\supseteq\dots</math> וקוטר הקבוצות שואף לאפס (דהיינו <math>\!\,\lim_{n\rarr\infty}diam A_n=0</math>) - קיימת נקודה המשותפת לכל הקבוצות. קל לראות שבמקרה כזה, החיתוך מכיל נקודה יחידה.
'''שרשרת יורדת''' של קבוצות היא סדרת קבוצות מהצורה <math>\!\, A_1\supseteq A_2\supseteq A_3\supseteq\dots</math>. '''קוטר''' של קבוצה <math>A</math> במרחב מטרי <math>(X,d)</math> הוא <math>\text{diam}(A) = \sup \left\{ d(a,b) \mid a,b \in A\right\}</math>.
 
יהאהמשפט קובע כי [[מרחב מטרי]] <math>\!\,X</math> מרחב מטרי. אז המרחבהוא שלם אם ורק אם לכל סדרהשרשרת <math>\left\{A_n\right\}_n</math>יורדת של קבוצות סגורות לאולא ריקות, כךבעלות שמתקייםקוטר <math>\!\, A_1\supseteq A_2\supseteq A_3\supseteq\dots</math> וקוטר הקבוצות שואףששואף לאפס (דהיינו <math>\!\,\lim_{n\rarr\infty}diam A_n=0</math>) - קיימת נקודה המשותפת לכל הקבוצותלכולן. קל לראות שבמקרה כזה, החיתוך מכיל נקודה יחידה.
 
== תקציר ההוכחה==