משפט החיתוך של קנטור – הבדלי גרסאות

דוגמה נחמדה לשימוש.
(דוגמה נחמדה לשימוש.)
{{סימון מתמטי}}
ב[[טופולוגיה]], '''משפט החיתוך של קנטור''' נותן תנאי שקול ל[[מרחב מטרי שלם|שלמות]] של [[מרחב מטרי]], במונחים של נקודה משותפת ל[[סדרה יורדת]] של [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצות]]. לפי משפט החיתוך, מרחב מטרי הוא שלם [[אם ורק אם]] כל סדרה יורדת של [[קבוצה סגורה|קבוצות סגורות]] במרחב, ש[[קוטר|קוטרן]] שואף לאפס, היא בעלת [[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוך]] לא ריק. משפט זה מהווה [[הכללה (מתמטיקה)|הכללה]] של [[הלמה של קנטור]] מ[[חשבון אינפיניטסימלי]], וקרוי על שמו של [[גאורג קנטור]].
 
==נוסח פורמלי==
==ניסוח המשפט==
 
'''שרשרתסדרה יורדת''' של קבוצות היא סדרת קבוצות מהצורה <math>\!\, A_1\supseteq A_2\supseteq A_3\supseteq\dots</math>. '''קוטר''' של קבוצה <math>A</math> במרחב מטרי <math>(X,d)</math> הוא <math>\text{diam}(A) = \sup \left\{ d(a,b) \mid a,b \in A\right\}</math>.
 
המשפט קובע כי [[מרחב מטרי]] <math>\!\,X</math> הוא שלם אם ורק אם לכל שרשרתסדרה יורדת של קבוצות סגורות ולא ריקות בעלות קוטר ששואף לאפס, קיימת נקודה המשותפת לכולן. קל לראות שבמקרה כזה, החיתוך מכיל נקודה יחידה.
 
דוגמה לשימוש במשפט זה היא העובדה שכל [[קבוצה סגורה]] ו[[קבוצה בת מניה|בת מניה]] של מספרים ממשיים, מכילה [[נקודה מבודדת]]. זאת כי אם <math>A = \left\{a_1,a_2,\dots \right\}</math> קבוצה כזאת, ב[[אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה]] ניתן להראות שיש סדרה יורדת של קטעים סגורים <math>I_1 \supseteq I_2 \supseteq \dots</math>, כך שהקטע <math>I_n</math> לא מכיל את הנקודה <math>a_n</math>. ממשפט החיתוך של קנטור עבור <math>I_1 \cap A \supseteq I_2 \cap A \supseteq \dots</math> יש נקודה של <math>A</math> בחיתוך, מה שמוביל לסתירה.
== תקציר ההוכחה==
 
כאשר המרחב שלם ו- <math>\ \{A_n\}</math> היא סדרה יורדת של קבוצות סגורות, אפשר [[אקסיומת הבחירה|לבחור]] נקודה <math>\ x_n \in A_n</math> בכל קבוצה. מכך שקוטר הקבוצות שואף לאפס נובע שהסדרה היא סדרת קושי, ולכן מתכנסת. מכיוון שכל הקבוצות סגורות, נקודת הגבול שייכת לכולן ולכן לחיתוך שלהן.
 
בכיוון ההפוך, תהי <math>\ \{x_n\}</math> סדרת קושי נתונה. לכל <math>\ k</math> קיים מקום שממנו והלאה המרחק בין שני איברים בסדרה אינו עולה על <math>\ 2^{-(k+1)}</math>; נבחר את הקבוצה <math>\ A_k</math> להיות הכדור הסגור ברדיוס <math>\ 2^{-k}</math> סביב נקודה רחוקה מספיק. קל להיווכח שסדרת הכדורים יורדת, ולפי ההנחה יש נקודה משותפת לכולם. זוהי נקודת גבול של הסדרה.
 
==חיתוך של סדרות יורדות במרחב שלם==
מאידך, לסתם סדרה יורדת של קבוצות סגורות יכול להיות חיתוך ריק. לדוגמה, הקטעים <math>\ A_n=[n,\infty)</math> על [[הישר הממשי]]. אפילו אם הקבוצות [[מרחב חסום|חסומות]], החיתוך יכול להיות ריק; לדוגמה, הקבוצות <math>\ A_n = \{e_n,e_{n+1},\dots\}</math> ב[[מרחב בנך]] <math>\ \ell_p</math>, כאשר <math>\ e_n</math> הם אברי הבסיס הסטנדרטי - זו סדרה יורדת של קבוצות סגורות וחסומות, שאין להן אף נקודה משותפת.
 
== הוכחה מפורטת ==
 
== =תקציר ההוכחה===
להלן הוכחה מפורטת למשפט החיתוך של קנטור.
 
כאשר המרחב שלם ו- <math>\ \{A_n\}</math> היא סדרה יורדת של קבוצות סגורות, אפשר [[אקסיומת הבחירה|לבחור]] נקודה <math>\ x_n \in A_n</math> בכל קבוצה. מכך שקוטר הקבוצות שואף לאפס נובע שהסדרה היא סדרת קושי, ולכן מתכנסת. מכיוון שכל הקבוצות סגורות, נקודת הגבול שייכת לכולן ולכן לחיתוך שלהן.
 
בכיוון ההפוך, תהי <math>\ \{x_n\}</math> סדרת קושי נתונה. לכל <math>\ k</math> קיים מקום שממנו והלאה המרחק בין שני איברים בסדרה אינו עולה על <math>\ 2^{-(k+1)}</math>; נבחר את הקבוצה <math>\ A_k</math> להיות הכדור הסגור ברדיוס <math>\ 2^{-k}</math> סביב נקודה רחוקה מספיק. קל להיווכח שסדרת הכדורים יורדת, ולפי ההנחה יש נקודה משותפת לכולם. זוהי נקודת גבול של הסדרה.
 
===כיוון אחד===
 
נניח כי <math>\!\,X</math> מרחב מטרי שלם, ותהא <math>\left\{A_n\right\}_n</math> סדרת קבוצות המקיימת את התנאים של המשפט. נבנה את הסדרה <math>\left\{x_n\right\}_n</math> על ידי זה שנבחר מכל <math>\!\,A_n</math> איבר <math>\!\,x_n</math> כלשהו. נראה כי זוהי [[סדרת קושי]]: יהא <math>\!\,\epsilon>0</math> כלשהו. בגלל שמתקיים <math>\!\,\lim_{n\rarr\infty}diam A_n=0</math> קיים <math>\!\,N</math> כך שהחל ממנו לכל <math>\!\,n>N</math> מתקיים <math>\!\,diam A_n<\epsilon</math>.
 
 
כעת יהיו <math>\!\,m,n>N</math> כלשהם, ונניח [[ללא הגבלת הכלליות]] שמתקיים <math>\!\,m\le n</math>. אז <math>\!\,A_m\supseteq A_n</math> ולכן <math>\!\,x_n,x_m\isin A_m</math>. על כן <math>\!\,d(x_n,x_m)\le diamA_m<\epsilon</math> וזאת לכל <math>\!\,m,n>N</math>, ולכן הסדרה היא סדרת קושי, ומכיוון שהמרחב <math>\!\,X</math> שלם היא מתכנסת. נסמן <math>\!\,x_n\rarr x</math>.
 
 
נראה כי <math>\!\,x</math> שייך לכל הקבוצות. תהא <math>\!\,A_k</math> כלשהי, אז לכל <math>\!\,m\ge k</math> מתקיים <math>\!\,x_m\isin A_k</math>, כלומר הזנב של הסדרה <math>\!\,x_n</math>, החל מהאיבר <math>\!\,k</math>, שייך לקבוצה <math>\!\,A_k</math>. על כן, האיבר <math>\!\,x</math> הוא [[נקודת גבול]] של <math>\!\,A_k</math> (כי הוא הגבול של סדרה המוכלת החל ממקום מסוים בקבוצה <math>\!\,A_k</math>). מכיוון ש<math>\!\,A_k</math> היא קבוצה סגורה, הרי שהיא מכילה את כל נקודות הגבול שלה, ולכן <math>\!\,x\isin A_k</math>, וזאת לכל <math>\!\,k</math>, ולכן <math>\!\,x\isin\bigcap_n A_n</math>.
 
 
נראה כעת כי בחיתוך יש בדיוק איבר יחיד: נניח כי <math>\!\,x,y\isin\bigcap_n A_n</math>,אז לכל <math>\!\,k</math> מתקיים <math>\!\,x,y\isin A_k</math>. יהא <math>\!\,\epsilon>0</math> כלשהו, אז קיים <math>\!\,N</math> כלשהו כך ש<math>\!\,diamA_N<\epsilon</math>, ומכיוון ש<math>\!\,x,y\isin A_N</math>, ולכן <math>\!\,d(x,y)\le diamA_N<\epsilon</math>. כלומר <math>\!\,d(x,y)<\epsilon</math> לכל <math>\!\,\epsilon>0</math> ולכן בהכרח <math>\!\,d(x,y)=0</math> ומכאן, על פי תכונות ה[[מטריקה]], <math>\!\,x=y</math>.
 
===כיוון שני===
 
נניח כי <math>\!\,X</math> הוא מרחב המקיים את התכונה שלכל סדרת קבוצות שעונה על הקריטריונים שלעיל יש חיתוך לא ריק, ונוכיח כי המרחב שלם (ההוכחה שונה מעט מזו שניתנה לעיל). תהא <math>\!\,\left\{x_n\right\}</math> סדרת קושי במרחב, ונוכיח שהיא מתכנסת.
 
 
לכל איבר <math>\!\,x_n</math> בסדרה נגדיר את הקבוצה הבאה: <math>\!\,A_n=Cl\left(\left\{x_m|m\ge n\right\}\right)</math> - [[סגור (טופולוגיה)|הסגור]] של הזנב של סדרת הקושי שמתחיל באיבר <math>\!\,x_n</math>. זוהי קבוצה סגורה (שכן סגור הוא תמיד קבוצה סגורה), ובבירור מתקיים <math>\!\, A_1\supseteq A_2\supseteq A_3\supseteq\dots</math> וזאת על פי דרך הגדרת הקבוצות.
 
 
אנו רוצים להוכיח כי <math>\!\,\lim_{n\rarr\infty}diam A_n=0</math>. לשם כך נוכיח קודם כל כי לכל קבוצה <math>\!\,A</math> מתקיים <math>\!\,diam A=diam Cl(A)</math>. ברור כי <math>\!\,diam A\le diam Cl(A)</math> (כי <math>\!\,Cl(A)</math> מכילה את <math>\!\,A</math>).
 
 
יהיו <math>\!\,a,b\isin Cl(A)</math>, אז קיימות סדרות <math>\!\,\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}</math> שכל אבריהן שייכים לקבוצה <math>\!\,A</math> כך ש<math>\!\,a_n\rarr a, b_n\rarr b</math> זאת מהגדרת הסגור (נשים לב שהסדרות יכולות להיות קבועות). מכיוון שאברי הסדרות שייכים כולם ל<math>\!\,A</math>, מתקיים <math>\!\,d(a_n,b_n)\le diamA</math> לכל <math>\!\,n</math>. לכן נקבל <math>\!\,d(a,b)\le diamA</math>, וזאת לכל <math>\!\,a,b\isin Cl(A)</math>, כלומר <math>\!\,diamCl(A)\le diamA</math>, וקיבלנו משני אי השוויונות את השוויון <math>\!\,diam A=diam Cl(A)</math> המבוקש.
 
 
כעת, מכיוון ש<math>\!\,x_n</math> סדרת קושי, הרי שלכל <math>\!\,\epsilon>0</math> קיים <math>\!\,N</math> כך שלכל <math>\!\,m\ge N</math> מתקיים <math>\!\,d(x_N,x_m)<\epsilon</math>. לכן <math>\!\,diam \left\{x_k|k\ge N\right\}<\epsilon</math>, ולכן <math>\!\,diam A_n=diam Cl\left(\left\{x_k|k\ge N\right\}\right)<\epsilon</math>, וקיבלנו <math>\!\,\lim_{n\rarr\infty}diam A_n=0</math>.