משפט החיתוך של קנטור – הבדלי גרסאות

(דוגמה נחמדה לשימוש.)
המשפט קובע כי [[מרחב מטרי]] <math>\!\,X</math> הוא שלם אם ורק אם לכל סדרה יורדת של קבוצות סגורות ולא ריקות בעלות קוטר ששואף לאפס, קיימת נקודה המשותפת לכולן. קל לראות שבמקרה כזה, החיתוך מכיל נקודה יחידה.
 
דוגמה לשימוש במשפט זה היא העובדה שכל [[קבוצה סגורה]] ו[[קבוצה בת מניה|בת מניה]] של מספרים ממשיים, מכילה [[נקודה מבודדת]]. זאת כי אם <math>A = \left\{a_1,a_2,\dots \right\}</math> קבוצה כזאת, ב[[אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה]] ניתן להראות שיש סדרה יורדת של קטעים סגורים <math>I_1 \supseteq I_2 \supseteq \dots</math>, כך שהקטע <math>I_n</math> נחתך עם <math>A</math> אך לא מכיל את הנקודה <math>a_n</math>. ממשפט החיתוך של קנטור עבור <math>I_1 \cap A \supseteq I_2 \cap A \supseteq \dots</math> יש נקודה של <math>A</math> בחיתוך, מה שמוביל לסתירה.
 
==חיתוך של סדרות יורדות במרחב שלם==