משפט החיתוך של קנטור – הבדלי גרסאות

אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
{{סימון מתמטי}}
ב[[טופולוגיה]], '''משפט החיתוך של קנטור''' נותן תנאי שקול ל[[מרחב מטרי שלם|שלמות]] של [[מרחב מטרי]], במונחים של נקודה משותפת ל[[סדרה יורדת]] של [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצות]]. לפי משפט החיתוך, מרחב מטרי הוא שלם [[אם ורק אם]] כל סדרה יורדת של [[קבוצה סגורה|קבוצות סגורות]] ש[[קוטר|קוטרן]] שואף לאפס, היא בעלת [[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוך]] לא ריק. משפט זה מהווה [[הכללה (מתמטיקה)|הכללה]] של [[הלמה של קנטור]] מ[[חשבון אינפיניטסימלי]], וקרוי על שמו של [[גאורג קנטור]].
 
==נוסח פורמלי==
 
'''[[סדרה יורדת]]''' של קבוצות היא סדרת קבוצות מהצורה <math>\!\, A_1\supseteq A_2\supseteq A_3\supseteq\dots</math>. '''קוטר''' של קבוצה <math>A</math> במרחב מטרי <math>(X,d)</math> הוא <math>\text{diam}(A) = \sup \left\{ d(a,b) \mid a,b \in A\right\}</math>.
 
המשפט קובע כי [[מרחב מטרי]] <math>\!\,X</math> הוא שלם [[אם ורק אם]] לכל סדרה יורדת של [[קבוצה סגורה|קבוצות סגורות]] ולא ריקות במרחב בעלות קוטר ששואף לאפס, קיימת[[חיתוך (מתמטיה)|חיתוך]] כל קבוצות נקודההסדרה המשותפתאינו לכולןריק. קל לראות שבמקרה כזה, החיתוך מכיל נקודה יחידה.
 
דוגמה לשימוש במשפט זה היא העובדה שכל [[קבוצה סגורה]] ו[[קבוצה בת מניה|בת מניה]] של מספרים ממשיים, מכילה [[נקודה מבודדת]]. זאת כי אם <math>A = \left\{a_1,a_2,\dots \right\}</math> קבוצה כזאת, ב[[אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה]] ניתן להראות שיש סדרה יורדת של קטעים סגורים <math>I_1 \supseteq I_2 \supseteq \dots</math>, כך שהקטע <math>I_n</math> נחתך עם <math>A</math> אך לא מכיל את הנקודה <math>a_n</math>. ממשפט החיתוך של קנטור עבור <math>I_1 \cap A \supseteq I_2 \cap A \supseteq \dots</math> יש נקודה של <math>A</math> בחיתוך, מה שמוביל לסתירה.