|
|
|
==אופרטור הנגזרת קובע את הטופולוגיה==
שני מרחבים טופולוגיים הם [[הומיאומורפיזם|הומיאומורפיים]] אם יש העתקה רציפה וחד-חד-ערכית מהראשון על משנהו, שהיא גם פתוחה, כלומר מעבירה את הקבוצות הפתוחות מן המרחב הראשון אל הקבוצות הפתוחות בשני. עבורבכל מרחביםפעם טופולוגייםשיש הומאומורפיזם <math>f</math>, קל לראות שלכל קבוצה <math>A</math> בתחום מתקיים <math>f(A') = f(A)'</math>. מתברר שבמרחב המקיים [[אקסיומות הפרדה|אקסיומת הפרדה T1]], ניתןגם להראותההפך כי הם הומאומורפיים אם ורקנכון: אם יש העתקהפונקציה חד-חד-ערכיתחח"ע fועל מהראשון על משנהו, כך שמתקייםהמקיימת <math>\ f(A') = f(A)'</math>, לכלאז קבוצההיא Aהומאומורפיזם. במיליםזאת אחרותכי במרחב כזה, טיפוסקבוצה ההומאומורפיזם<math>U</math> שלהיא מרחבפתוחה טופולוגיאם T1ורק נקבעאם עלהיא ידיזרה הקבוצותלקבוצה הנגזרותהנגזרת שבושל משלימתה, <math>\ \left( U^{\complement} \right)'</math>.
האופרטור המתאים לקבוצה את הקבוצה הנגזרת שלה, מאפיין את טיפוס ההומאומורפיזם של המרחב. זאת כי קבוצה <math>U</math> היא פתוחה אם ורק אם היא זרה לקבוצה הנגזרת של משלימתה, <math>\ \left( U^{\complement} \right)'</math>.
אופרטור הנגזרת מקיים את התכונות הבאות:
|
