משפט ארצלה-אסקולי – הבדלי גרסאות

 

==תיאור פורמלי==

כמו בכל מרחב מטרי, תת-קבוצה A של <math>C(K)</math> היא "[[קבוצה חסומה|חסומה]]" אם קיים חסם ממשי על כל ערכי הפונקציות שלה.

 

 

:'''מסקנה:''' אם <math>A \subseteq C(K)</math> סגורה (בטופולוגיה הנורמית) וחסומה, אז A [[קומפקטיות|קומפקטית]] אם ורק אם היא רציפה במידה אחידה.

:'''מסקנה:''' אופרטור האינטגרל <math>\ T\,:\,C(K) \rightarrow C(K) </math> המוגדר <math>\ T(f) = \int_a^b k(s,t)f(t)\,dt </math>, כאשר <math>\ k </math> [[גרעין (אנליזה)|גרעין]] רציף על <math>\ K \times K</math>, הוא [[אופרטור קומפקטי]].

 

==הוכחת המשפט==

===כיוון ראשון===

 

לכל <math>\ 1\le i\le l</math> קיים <math>k_i\in\mathbb{N}</math> כך ש-<math>x_{k_i}\in O_i</math> (כי <math>\left\{x_k\right\}_{k=1}^\infty</math> צפופה ב-<math>\ K</math>). כמו כן הסדרה <math>\left\{g_n\left(x_{k_i}\right)\right\}_{n=1}^\infty</math> מתכנסת ל-<math>\xi_{k_i}</math> לכן לפי [[סדרת קושי|תנאי קושי]] קיים <math>\ N_i</math> כך שלכל <math>\ n,m>N_i</math> מתקיים <math>d\left(g_n\left(x_{k_i}\right),g_m\left(x_{k_i}\right)\right)<\frac{\varepsilon}{3}</math>. נסמן <math>\ N:=\sup(N_i)</math>. כעת, לכל <math>\ n,m>N</math> ולכל <math>x\in K</math> קיים <math>\ 1\le i\le l</math> כך ש-<math>x\in O_i</math> ומתקיים <math>d\left(g_n\left(x\right),g_m\left(x\right)\right) \le d\left(g_n\left(x\right),g_n\left(x_{k_i}\right)\right) + d\left(g_n\left(x_{k_i}\right),g_m\left(x_{k_i}\right)\right) + d\left(g_m\left(x_{k_i}\right),g_m\left(x\right)\right) < \varepsilon</math>. לכן, לפי תנאי קושי, הסדרה <math>\left\{g_n\right\}_{n=1}^\infty</math> מתכנסת במידה שווה.

 

 

[[קטגוריה:משפטים באנליזה פונקציונלית|ארצלה-אסקולי]]