הבדלים בין גרסאות בדף "הפרדת משתנים"

נוספו 72 בתים ,  לפני 14 שנים
מ
זוטות
מ
מ (זוטות)
הפרדת משתנים היא שיטה לפתרון [[משוואה דיפרנציאלית|משוואות דיפרנציאליות]]. בשיטה זו מבודדים באגף אחד את כל האיברים התלויים במשתנה וכך מקבלים משוואה קלה יותר לפתרון.
לא כל משוואה דיפרנציאלית ניתן לפתור בעזרת הפרדת משתנים, אך משוואות פיסיקליות חשובות רבות (לדוגמא [[משוואת שרדינגר]], [[משוואת הגלים]], [[משוואת דיפוזיה]] ועוד), ניתנות לפתרון בדרך זו.
 
== דוגמאות לשימוש בהפרדת משתנים ==
 
=== במשוואה דיפרציאלית רגילה ===
נתבונן במשוואה הבאה
:<math>\frac{dy}{dx}=y(1-y)</math>.
:<math>y=\frac{1}{1+Be^{-x}}.</math>.
 
=== במשוואה דיפרנציאלית חלקית ===
נתבונן במשוואתב[[משוואת הגלים]]
: <math>\ \frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi(x,t) = \frac{1}{v^2} \frac{\partial ^2}{\partial t^2} \psi(x,t)</math>
ננחשנחפש פתרון מן הצורה
<math>\ \psi(x,t) = \phi (x) \chi (t) </math>
נציב זאת למשוואה ונקבל:
נחלק ב <math>\ \psi(x,t) = \phi (x) \chi (t) </math> ונקבל
:<math> \frac{\phi''(x)}{\phi(x)} = \frac{1}{v^2} \frac{\chi''(t)}{\chi(t)}</math>
במשוואה שקיבלנו, אגף ימין תלוי במשתנה t בלבד, ואילו אגף שמאל תלוי במשתנה x בלבד (כאן הגענו להפרדת משתנים). כיוון שהשיוויון צריך להתקיים לכל x ו-t כל אגף חייב להיות שווה לקבוע שנסמנו ב -<math>\, \lambda </math>. קיבלנו במקום המשוואה הדיפרציאליתהדיפרנציאלית החלקית ממנה התחלנו, שתי משוואות דיפרנציאליות רגילות:
 
:<math> \frac{\phi''(x)}{\phi(x)} = \lambda </math>
:<math> \frac{1}{v^2} \frac{\chi''(t)}{\chi(t)} = \lambda </math>
 
שאותן קל יותר לפתור (בדוגמאבדוגמה שלנוזו מדובר במשוואות [[אוסצילטור הרמוני]] שפתרונן ידוע).
 
[[קטגוריה:מתמטיקה]]
 
[[en:Seperation_of_variables]]
[[de:Trennung der Veränderlichen]]
[[ja:変数分離]]