אלגברת בנך – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ רובוט מוסיף: fr:Algèbre de Banach, nl:Banach-algebra |
הרחבה. מחיקת תבנית קצרמר. |
||
שורה 1:
ב[[מתמטיקה]], ''אלגברת בנך'' הינה [[מרחב בנך]] שהוא גם אלגברה (מעל שדה הסקלרים) כך שפעולת הכפל היא רציפה. באופן פורמלי, מרחב בנך <math>\ (X,+,\| \cdot \| )</math>
<math>
נקרא אלגברת בנך אם מתקיים:
2. לכל שני איברים באלגברה מתקיים <math> \| x\cdot y\| \leq \|x\| \| y\| </math>.
אלגבראות בנך קרויות על שמו של [[סטפן בנך]].
==דוגמאות==
1. המספרים הממשיים, כמרחב בנך מעל עצמם ויחד עם פעולת הכפל הסטנדרטית, הם אלגברת בנך. בדומה, המספרים המרוכבים הם אלגברת בנך מעל עצמם.
2. המספרים המרוכבים, עם הערך המוחלט כנורמה ופעולת הכפל הסטנדרטית, הם אלגברת בנך מעל המספרים הממשיים.
3. אלגברת המטריצות מסדר <math> n\times n </math> היא אלגברת בנך ביחס לכל נורמה תת-כפלית.
4. אלגברת ה[[קווטרניונים]] היא אלגברת בנך מעל הממשיים.
5. אוסף כל הפונקציות הרציפות ממרחב טופולוגי לשדה המרוכבים, יחד עם נורמת הסופרימום וכפל נקודתי של פונקציות, הוא אלגברת בנך.
6. אוסף הפונקציות ההולומורפיות על קבוצה קומפקטית במישור המרוכב, יחד עם נורמת הסופרימום וכפל נקודתי של פונקציות, הוא אלגברת בנך.
==תכונות==
1. אלגבראות בנך עם יחידה הן מסגרת נוחה לטיפול בתורה הספקטרלית. לכל איבר <math> \ x </math> באלגברת בנך ניתן להגדיר את הספקטרום של <math> \ x </math> כאוסף כל הסקלרים <math> \ \lambda </math> כך ש <math> \ x-\lambda 1 </math> איננו הפיך. הספקטרום של איבר באלגברת בנך הוא תמיד קומפקטי ואם שדה הסקלרים הוא המספרים המרוכבים, הספקטרום איננו ריק.
2. באלגבראות בנך יש תחשיב פונקציונלי הולומורפי: לכל איבר x ולכל פונקציה הולומורפית f שמוגדרת על הספקטרום של x, ניתן להגדיר את <math> \ f(x) </math>
.
[[קטגוריה:מתמטיקה]]
| |||