ויקיפדיה

אלגברת בנך – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
נ.א. (שיחה | תרומות)
35 עריכות
הרחבה. מחיקת תבנית קצרמר.
מאין תקציר עריכה
שורה 1:
ב[[מתמטיקה]], '''אלגברת בנך''' הינה [[מרחב בנך]] שהוא גם אלגברה (מעל שדה הסקלרים) כך שפעולת הכפל היא רציפה. באופן פורמלי, מרחב בנך <math>\ (X,+,\| \cdot \| )</math> יחד עם העתקה בילינארית
<math> \ (x,y)\mapsto x\cdot y </math>
נקרא אלגברת בנך אם מתקיים:
 
1.# <math> \ (X,+,\cdot ) </math> הוא [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]] אסוציטיבית.
2.# לכל שני איברים באלגברה מתקיים <math> \| x\cdot y\| \leq \|x\| \| y\| </math>.▼
 
▲2. לכל שני איברים באלגברה מתקיים <math> \| x\cdot y\| \leq \|x\| \| y\| </math>.
 
אלגבראות בנך קרויות על שמו של [[סטפן בנך]].
שורה 11 ⟵ 10:
==דוגמאות==
 
1.# [[שדה המספרים הממשיים|המספרים הממשיים]], כמרחב בנך מעל עצמם ויחד עם פעולת הכפל הסטנדרטית, הם אלגברת בנך. בדומה, [[שדה המספרים המרוכבים|המספרים המרוכבים]] הם אלגברת בנך מעל עצמם.
2.# המספרים המרוכבים, עם הערך המוחלט כנורמה ופעולת הכפל הסטנדרטית, הם אלגברת בנך מעל המספרים הממשיים.▼
 
3.# אלגברת המטריצות מסדר <math> n\times n </math> היא אלגברת בנך ביחס לכל נורמה תת-כפלית.▼
▲2. המספרים המרוכבים, עם הערך המוחלט כנורמה ופעולת הכפל הסטנדרטית, הם אלגברת בנך מעל המספרים הממשיים.
4.# אלגברת ה[[קווטרניונים]] היא אלגברת בנך מעל הממשיים.▼
 
5.# אוסף כל [[פונקציה רציפה|הפונקציות הרציפות]] ממרחב טופולוגי לשדה המרוכבים, יחד עם נורמת הסופרימום וכפל נקודתי של פונקציות, הוא אלגברת בנך.▼
▲3. אלגברת המטריצות מסדר <math> n\times n </math> היא אלגברת בנך ביחס לכל נורמה תת-כפלית.
6.# אוסף הפונקציות ההולומורפיות על קבוצה קומפקטית במישור המרוכב, יחד עם נורמת הסופרימום וכפל נקודתי של פונקציות, הוא אלגברת בנך.▼
 
▲4. אלגברת ה[[קווטרניונים]] היא אלגברת בנך מעל הממשיים.
 
▲5. אוסף כל הפונקציות הרציפות ממרחב טופולוגי לשדה המרוכבים, יחד עם נורמת הסופרימום וכפל נקודתי של פונקציות, הוא אלגברת בנך.
 
▲6. אוסף הפונקציות ההולומורפיות על קבוצה קומפקטית במישור המרוכב, יחד עם נורמת הסופרימום וכפל נקודתי של פונקציות, הוא אלגברת בנך.
 
==תכונות==
 
1.# אלגבראות בנך עם יחידה הן מסגרת נוחה לטיפול בתורה הספקטרלית. לכל איבר <math> \ x </math> באלגברת בנך ניתן להגדיר את הספקטרוםה[[ספקטרום של אופרטור|ספקטרום]] של <math> \ x </math> כאוסף כל הסקלרים <math> \ \lambda </math> כך ש <math> \ x-\lambda 1 </math> איננו הפיך. הספקטרום של איבר באלגברת בנך הוא תמיד קומפקטי ואם שדה הסקלרים הוא המספרים המרוכבים, הספקטרום איננו ריק.
2.# באלגבראות בנך יש תחשיב פונקציונלי הולומורפי: לכל איבר x ולכל פונקציה הולומורפית f שמוגדרת על הספקטרום של x, ניתן להגדיר את <math> \ f(x) </math>▼
 
▲2. באלגבראות בנך יש תחשיב פונקציונלי הולומורפי: לכל איבר x ולכל פונקציה הולומורפית f שמוגדרת על הספקטרום של x, ניתן להגדיר את <math> \ f(x) </math>
.
 
[[קטגוריה:מתמטיקהאלגברה]]
[[קטגוריה:אנליזה פונקציונלית.
 
[[en:Banach algebra]]
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/אלגברת_בנך"