אלגברת בנך – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ עוד קישורים
שורה 1:
ב[[מתמטיקה]], '''אלגברת בנך''' הינההיא [[מרחב בנך]] שהוא גם [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]] (מעל שדה הסקלרים) כך שפעולת הכפל היא רציפה. באופן פורמלי, מרחב בנך <math>\ (X,+,\| \cdot \| )</math> יחד עם העתקה בילינארית
<math> \ (x,y)\mapsto x\cdot y </math>
נקרא אלגברת בנך אם מתקיים:
שורה 11:
 
# [[שדה המספרים הממשיים|המספרים הממשיים]], כמרחב בנך מעל עצמם ויחד עם פעולת הכפל הסטנדרטית, הם אלגברת בנך. בדומה, [[שדה המספרים המרוכבים|המספרים המרוכבים]] הם אלגברת בנך מעל עצמם.
# המספרים המרוכבים, עם הערךה[[ערך מוחלט|ערך המוחלט]] כ[[נורמה כנורמה(מתמטיקה)|נורמה]] ופעולת הכפל הסטנדרטית, הם אלגברת בנך מעל המספרים הממשיים.
# אלגברת המטריצות מסדר <math> n\times n </math> היא אלגברת בנך ביחס לכל נורמה תת-כפלית.
# אלגברת ה[[קווטרניונים]] היא אלגברת בנך מעל הממשיים.
# אוסף כל [[פונקציה רציפה|הפונקציות הרציפות]] ממרחב טופולוגי לשדה המרוכבים, יחד עם נורמת הסופרימום וכפל נקודתי של פונקציות, הוא אלגברת בנך.
# אוסף [[פונקציה הולומורפית|הפונקציות ההולומורפיות]] על [[קבוצה קומפקטית]] במישור המרוכב, יחד עם נורמת הסופרימום וכפל נקודתי של פונקציות, הוא אלגברת בנך.
 
==תכונות==
שורה 21:
# אלגבראות בנך עם יחידה הן מסגרת נוחה לטיפול בתורה הספקטרלית. לכל איבר <math> \ x </math> באלגברת בנך ניתן להגדיר את ה[[ספקטרום של אופרטור|ספקטרום]] של <math> \ x </math> כאוסף כל הסקלרים <math> \ \lambda </math> כך ש <math> \ x-\lambda 1 </math> איננו הפיך. הספקטרום של איבר באלגברת בנך הוא תמיד קומפקטי ואם שדה הסקלרים הוא המספרים המרוכבים, הספקטרום איננו ריק.
# באלגבראות בנך יש תחשיב פונקציונלי הולומורפי: לכל איבר x ולכל פונקציה הולומורפית f שמוגדרת על הספקטרום של x, ניתן להגדיר את <math> \ f(x) </math>
 
[[קטגוריה:אלגברה]]