הבדלים בין גרסאות בדף "טור (מתמטיקה)"

הוסרו 7 בתים ,  לפני 3 שנים
ביטול גרסה 23015915 של 132.70.224.104 (שיחה) - הניסוח הזה פחות אנציקלופדי מהקודם
(ביטול גרסה 23015915 של 132.70.224.104 (שיחה) - הניסוח הזה פחות אנציקלופדי מהקודם)
נראה כאן כיצד ניתן לחשב את סכום הטור ההרמוני המתחלף <math>\sum_{k=1}^\infty \left(-1\right)^{k-1}\frac {1}{k}</math>. זהו טור מתכנס, בניגוד לטור ההרמוני, ונחשב את סכומו באמצעות תכונות של [[טור חזקות|טורי חזקות]].
 
ראשית נביט בטור ההנדסי <math>\sum_{k=0}^\infty x^k</math> שמתכנס עבור <math>x\isin(-1,1)</math>. קל לראותידוע כי סכום טור זה הוא <math>\frac {1}{1-x}</math>. נציב <math>x=-y</math> ונקבל: <math>\sum_{k=0}^\infty (-y)^k=\frac{1}{1+y}</math>. מכיוון שזהו טור חזקות בעל רדיוס התכנסות 1 ניתן לבצע אינטגרציה איבר איבר, ולכן נקבל:
<math>\sum_{k=0}^\infty \int_0^y(-1)^kt^kdt=\int_0^y\frac{1}{1+t}dt</math>, כלומר <math>\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{y^{k+1}}{k+1}=\ln(1+y)</math>.
 
47,111

עריכות