מערכת משוואות ליניאריות – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
הגהה, הגהה, הגהה, הפרת זכויות יוצרים, הפרת זכויות יוצרים |
שחזור |
||
שורה 6:
מערכת כללית של m משוואות עם n נעלמים <math>x_1,\dots,x_n</math> יכולה להיכתב בצורה הבאה:
:<math>\begin{alignat}{7}
a_{11} x_1 &&\; + \;&& a_{12} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{1n} x_n &&\; = \;&&& b_1 \\
a_{21} x_1 &&\; + \;&& a_{22} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{2n} x_n &&\; = \;&&& b_2 \\
\vdots\;\;\; && && \vdots\;\;\; && && \vdots\;\;\; && &&& \;\vdots \\
a_{m1} x_1 &&\; + \;&& a_{m2} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{mn} x_n &&\; = \;&&& b_m. \\
\end{alignat}</math>
כאשר <math>a_{1_1},\ a_{1_2},...,\ a_{m_n}</math> הם המקדמים של המשתנים ו-<math>b_1,\ b_2,...,b_m</math> הם '''המקדמים החופשיים''' במשוואות.
בדרך כלל המקדמים והמשתנים שייכים ל[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] (למשל שדה ה[[שדה המספרים הממשיים|ממשיים]], ה[[שדה המספרים המרוכבים|מרוכבים]], או ה[[שדה המספרים הרציונליים|רציונליים]]), או ל[[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] כדוגמת חוג ה[[חוג המספרים השלמים|שלמים]].
===הצגה באמצעות וקטורים===
ניתן להציג את המערכת בצורה של משוואה [[וקטור (אלגברה)|וקטור]]ית, כ[[צירוף ליניארי]] של [[וקטור עמודה|וקטורי עמודה]]:
:<math>
x_1 \begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\ \vdots \\a_{m1}\end{bmatrix} +
x_2 \begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\\ \vdots \\a_{m2}\end{bmatrix} +
\cdots +
x_n \begin{bmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\ \vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\ \vdots \\b_m\end{bmatrix}
</math>
הצגה כזאת מאפשרת שימוש בתכונות של [[מרחב וקטורי]]. לדוגמה, האוסף של הצירופים הליניארים של הווקטורים בצד שמאל נקרא ה[[קבוצה פורשת|קבוצה הפורשת]] שלהם, ולמערכת יש פתרון רק כאשר הווקטור בצד ימין נמצא בקבוצה הזאת. במקרה כזה, הפתרון הוא מקדמי ההצגה. הבחנה זו מובילה ל[[משפט רושה קפלי]], הקובע שלמערכת יש פתרון אם ורק אם דרגת המטריצה של המקדמים שווה לדרגת המטריצה שלה מוסיפים את הווקטור הקבוע. אם אפשר להציג כל וקטור להביע אותו כצירוף ליניארי של הווקטורים בצד שמאל, אז כל פתרון הוא ייחודי. בכל מקרה, למערכת יש [[בסיס (אלגברה)|בסיס]] של וקטורים שאינם [[תלות ליניארית|תלויים ליניארית]] שמבטיחים בדיוק ביטוי אחד, ומספר הווקטורים בבסיס אינו יכול להיות גדול מ-m או n, אך יכול להיות קטן מהם.
===הצגה באמצעות מטריצות===
מערכת משוואות ליניאריות ניתנת גם להצגה בעזרת [[מטריצה|מטריצות]]. המערכת מוגדרת כשוויון
:<math>A\bold{x}=\bold{b}</math>
שורה 75 ⟵ 96:
=== דוגמה: המקרה הדו-ממדי (פירוש גאומטרי) ===
[[קובץ:Intersecting Lines.svg|שמאל|ממוזער|250px|פתרון המשוואות x-y=−1 ו-3x+y=9 הוא הנקודה (2,3)]]
למערכת שמכילה שני משתנים x ו-y, כל משוואה ניתנת לייצוג על ידי [[ישר]] ב[[מישור (גאומטריה)|מישור]] אחד. קבוצת הפתרונות היא ה[[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוך]] שלהם, שיכול להיות ישר, [[נקודה (גאומטריה)|נקודה]] או [[הקבוצה הריקה]].
כשיש במערכת שלושה משתנים מציגים כל אחד מהם בתור מישור ב[[מרחב תלת-ממדי]] אחד, והפתרון הוא החיתוך. כאן קבוצת הפתרונות יכולה להיות מישור, ישר, נקודה או הקבוצה הריקה (ישנם שני סוגים של אינסוף פתרונות).
עבור מערכת עם <math>\ n</math> משתנים, כל משוואה מייצג מרחב <math>\ n-1</math> ממדי, המשוכנים במרחב <math>\ n</math>-ממדי אחד.
| |||