מודל דרודה – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Idanfr (שיחה | תרומות)
מ שגיאת כתיב
מאין תקציר עריכה
שורה 1:
'''מודל דרודה''' הינוהוא [[מודל]] [[פיזיקה|פיזיקלי]] [[פיזיקה קלאסית|קלאסי]] המסביר התנהגויות שונות של [[מתכת|מתכות]], ובמיוחד [[מוליכות חשמלית]] ו[[מוליכות חום]]. מודל זה מנבא את [[חוק אוהם]] ואת המוליכות הסגולית של מתכות, כמו גם תכונות [[תרמודינמיקה|תרמודינמיות]] שונות, כגון [[קיבול חום]] סגולי או מקדם קומפרסיביליות. המודל הוצע לראשונה בשנת 1900 על ידי ה[[פיזיקאי]] ה[[גרמניה|גרמני]] [[פאול דרודה]]. מאוחר יותר הורחב המודל על ידי [[הנדריק לורנץ]] ועל ידי [[ארנולד זומרפלד]] שכלל בו אפקטים [[תורת הקוונטים|קוונטיים]].
==היסטוריה==
השאלה מדוע חלק מהחומרים מוליכים חשמל וחום טוב יותר מאחרים הייתה שאלה פתוחה בפיזיקה של סוף המאה התשע עשרה. בשנת [[1897]] גילה [[ג'יי. ג'יי. תומסון]] את קיומו של ה[[אלקטרון]], שהיווה מועמד טבעי לתפקיד נושא הזרם במתכות. שלוש שנים לאחר מכן פרסם פאול דרודה את המודל הפשטני שלו להולכה במתכות, שהוא למעשה יישום [[התורה הקינטית של הגזים]] (שהייתה כבר אז תורה מוצלחת מבחינת כח הניבויי שלה) עבור מתכות. חשוב לזכור כי מודל זה פותח בתקופה בה מבנה האטום לא היה ידוע (לפני [[מודל האטום של בוהר]]) ו[[מכניקת הקוונטים]] עוד לא פותחה.
שורה 11:
* המתכת מורכבת מיונים נייחים ומאלקטרונים חופשיים הנעים ביניהם (ראו איור).
* כל אלקטרון נע ללא אינטראקציה עם האלקטרונים האחרים, וללא אינטרטקציה עם היונים פרט להתגשויות שמתרחשות באופן אקראי. בין ההתנגשויות האלקטרונים נעים אך ורק תחת השפעת שדות חיצוניים ([[שדה מגנטי|מגנטיים]] או [[שדה חשמלי|חשמליים]]) אם קיימים כאלה.
* בפרק זמן אינפיניטסימלי <math>\ dt </math> ההסתברות שתתרחש התנגשות לאלקטרון מסוים היא <math>\ dt/\tau </math>, כאשר <math>\ \tau</math> הינוהוא קבוע שאינו תלוי במיקום, במהירות האלקטרון או בזמן שחלף מאז ההתנגשות הקודמת. במילים אחרות, ההתנגשויות של אלקטרונים הם [[תהליך פואסון|תהליכים פואסוניים]]. ניתן להוכיח שמכך נובע כי הזמן הממוצע בין התנגשויות הוא <math>\ \tau</math>.
* לאחר התנגשות, האלקטרון יוצא במהירות שכיוונה אקראי וגודלה נקבע על פי ה[[טמפרטורה]] באזור ההתנגשות (על פי [[חוק החלוקה השווה]]).
 
=== הזמן בין ההתנגשויות <math>\ \tau </math> ===
הזמן הממוצע בין ההתנגשויות, <math>\ \tau </math>, הינוהוא פרמטר מרכזי במודל. את <math>\ \tau </math> ניתן להעריך על ידי
<math> \tau=\frac{l}{\bar v} </math>, כאשר <math>\ l </math> הוא [[מהלך חופשי ממוצע|המהלך החופשי הממוצע]] ו-<math>\bar v </math> היא המהירות הממוצעת של האלקטרונים. קשה למדוד את <math>\ \tau </math> במדויק.
 
שורה 24:
עבור טמפרטורת החדר, מתקבל <math> \bar v \approx 10^7 cm/sec </math>, ובסה"כ <math> \tau \approx 10^{-14}-10^{-15} sec </math>.
 
כיום ידוע שהערכה זו רחוקה מהאמת, היות שהאלקטרונים אינם מצייתים להתפלגות הקלאסית של גז אידיאלי ([[התפלגות מקסוול בולצמן]]). זאת משום שאלקטרונים, שהינםהם [[פרמיון|פרמיונים]], מוגבליםהמוגבלים על ידי [[עקרון האיסור של פאולי]], ולכן מצייתים ל[[התפלגות פרמי דירק]], המנבאת להם מהירות ממוצעת גבוהה בהרבה (בערך פי מאה).
 
==מודל דרודה וחוק אוהם==
שורה 31:
נחשב את [[צפיפות זרם|צפיפות הזרם]] <math> \vec J </math> במתכת. זו נתונה על ידי <math> \vec J = n e \vec v_d </math>, כאשר e [[מטען חשמלי|מטען]] האלקטרון, n [[צפיפות החומר|צפיפות]] האלקטרונים במתכת, ו- <math> \vec v_d </math> המהירות ה[[ממוצע]]ת של האלקטרונים ([[מהירות הסחיפה]]).
 
בהיעדר [[שדה חשמלי]] חיצוני, תנועת האלקטרונים נקבעת אך ורק על ידי ההתנגשויות ולכן המהירות הממוצעת היא אפס (מכיוון שהמהירות הינה [[אקראיות|אקראית]], ולכן מתפלגת באופן אחיד בכל הכיוונים).
 
כאשר מופעל שדה חשמלי חיצוני קבוע <math> \vec E </math>, האלקטרונים ינועו בין ההתנגשויות בהשפעת השדה. אם מהירות האלקטרון לאחר ההתנגשות האחרונה היא <math> \vec v_0 </math>, אזי לאחר זמן t מהתנגשות זו, מהירותו תהיה <math> \vec v = \vec v_0 + \frac{e\vec E t}{m} </math>.
שורה 50:
בעזרת משוואה זו ניתן לחשב את המוליכות במקרים מסובכים יותר, כגון בנוכחות [[שדה מגנטי]] ([[אפקט הול]]) או במקרה של שדה חשמלי משתנה בזמן ([[זרם חילופין]]). שימוש נוסף של מודל דרודה הוא בחישוב [[מוליכות חום|מוליכות החום]] של מתכות ([[חוק וידמן פרנץ]]).
 
תוצאות חשובות במודל זה הינםהן:
=== מוליכות בזרם חילופין ===
עבור שדה חשמלי מן הצורה <math> \vec E(t) = \vec E_0 e^{-i\omega t} </math> מתקבלת הביטוי למוליכות:
שורה 67:
 
בפועל, ההנחות העומדות בבסיס המודל פשוט שגויות. השגיאות הבולטות הן:
* התייחסות לאלקטרונים כאל חלקיקים קלאסיים - האלקטרונים הינםהם [[פרמיון|פרמיונים]] וחוק החלוקה השווה אינו תקף עבורם (בטמפרטורת החדר).
* לא ניתן למדל את האינטראקציה בין האלקטרונים ליונים בעזרת התנגשויות - ישנה חשיבות למבנה המחזורי של הגביש היוני (כמו גם לפגמים ואי סדר בו). למעשה, מדידות מראות כי לעיתים המהלך החופשי הממוצע הוא מסדר גודל של מיקרונים, ולעיתים אפילו סנטימטרים, מה שמצביע על כך שלא יכול להיות שהמנגנון שאחראי להתנגשויות הינוהוא היונים (שמרוחקים זה מזה הוא מסדר גודל של אנגסטרומים).
* במודל דרודה ליונים אין כל תפקיד פרט לכך שהאלקטרונים מתנגשים בהם. במציאות, ליונים יש תפקיד מורכב יותר. לדוגמה, היונים לבדם יכולים לבצע הולכת חום (על ידי [[פונון|פונונים]]).