מתאם פירסון – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Matanyabot (שיחה | תרומות)
מ בוט החלפות: אוכלוסייה, תאור\1, ביניה\1, \1ליניארי
שורה 1:
'''מתאם פירסון''', או בשמו המלא '''מקדם המתאם של פירסון''' (Pearson), על שם [[קרל פירסון]], הוא [[מדד]] [[קשר ליניארי|לקשר ליניארי]] בין שני משתנים מקריים. כאשר מדובר בעיבוד נתונים [[סטטיסטיקה|סטטיסטי]], ההתייחסות היא בדרך כלל לקשר בין שני [[משתנה|משתנים]] שערכיהם מתקבלים [[מדגם|במדגם]]. ערכי המקדם נעים בין (1-) לבין (1+). מקובל לסמן את ערך מקדם המתאם באות R כאשר הוא מחושב מתוך נתונים שהתקבלו במדגם, ובאות היוונית <math>\rho</math>כאשר דנים בערכו התיאורטיהתאורטי של המקדם.
 
== היסטוריה ==
הרעיון הבסיסי למקדם המתאם הוצע על ידי [[פרנסיס גולטון|פרנסיס גאלטון]] בשנות השמונים של המאה ה-19, שניסה למדוד קשרים בין משתנים תצפיתיים. קרל פירסון גיבש את רעיונותיו של גאלטון והציג את הנוסחה המקובלת כיום בראשית המאה העשרים. [[רונלד פישר]] חישב את התפלגותו של מקדם המתאם כאשר מקור התצפיות בהתפלגות נורמלית, ואיפשר בכך [[הסקה סטטיסטית]] על ערכו התיאורטיהתאורטי של המקדם.
 
== הגדרה ותכונות ==
מבחינה מתמטית, המתאם הלינאריהליניארי בין שני [[משתנה מקרי|משתנים מקריים]] ''X'' ו-''Y'' עם [[תוחלת|תוחלות]] &mu;<sub>''X''</sub> ו-&mu;<sub>''Y''</sub> ו[[סטיית תקן|סטיות תקן]] &sigma;<sub>''X''</sub> ו-&sigma;<sub>''Y''</sub> מוגדר על פי הנוסחה הבאה:
 
:<math>
שורה 20:
כן ניתן להוכיח כי:
 
# כאשר מתקיים קשר לינאריליניארי חיובי מלא בין שני המשתנים ערכו של מקדם המתאם שווה ל-1.
# כאשר מתקיים קשר לינאריליניארי שלילי מלא בין שני המשתנים ערכו של מקדם המתאם שווה ל-1-.
# כאשר המשתנים המקריים מתאם ''X'' ו-''Y'' [[בלתי מתואמים]] ערכו של מקדם המתאם שווה ל-0.
# כאשר המשתנים המקריים מתאם ''X'' ו-''Y'' [[בלתי תלויים]] ערכו של מקדם המתאם שווה ל-0.
 
יש לשים לב כי כי ייתכן מצב בו ''X'' ו-''Y'' אינם בלתי תלויים במובן ההסתברותי, אך מקדם המתאם בינהםביניהם בכל זאת שווה לאפס. עם זאת כאשר ל-''X'' ול-''Y'' יש [[התפלגות דו-נורמלית|התפלגות משותפת דו-נורמלית]] אזי אם מקדם המתאם בינהםביניהם שווה לאפס נובע מכך כי משתנים אלה הינם בלתי תלויים.
 
== יישומים ==
ניתוחים סטטיסטיים מסתמכים בדרך כלל על מדגם של נתונים מתוך אוכלוסיהאוכלוסייה. במקרה כזה בו קיימים נתוני המדגם ניתן [[אמידה|לאמוד]] את מקדם המתאם של פירסון באופן הבא:
 
:<math>R = \frac{\sum_i(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_i (x_i-\bar{x})^2 \sum_i(y_i-\bar{y})^2}}</math>
שורה 36:
יש להדגיש כי למרות שהחישוב על פי הנוסחא מתאפשר כאשר X ו-Y מקבלים ערכים מספריים כלשהם, בדרך כלל אין משמעות לערכו של מקדם המתאם אם הם לא משתנים כמותיים, כלומר נמדדים בסולם מנה או סולם רווח (ראו: [[סולמות מדידה]]).
 
באופן דומה להוכחה לגבי הערך התיאורטיהתאורטי של מקדם המתאם, ניתן להוכיח כי ערכו של האמד ''R'' נע בין 1- ל-1, וכי הערך 1 יתקבל כאשר יש קשר לינאריליניארי חיובי מלא בין המשתנים, והערך 1- יתקבל כאשר יש קשר לינאריליניארי שלילי מלא בין המשתנים. עם זאת, במקרים רבים יימצאו קשרים בערכי ביניים בין שני ערכי הקיצון, וערכים אלה נתונים לפרשנות. לדוגמה: אם ערכו של ''R'' שווה ל-0.8, הפרשנות המקובלת היא כי בין שני המשתנים קיים קשר לינאריליניארי חיובי בעוצמה גבוהה. מקובל לפרש את ערכי מקדם המתאם באופן הבא:
 
# עוצמת הקשר הלינאריהליניארי בין המשתנים: ככל שהערך קרוב יותר ל־1+ או ל־1- אזי עוצמת הקשר חזקה יותר.
# כיוון הקשר הלינאריהליניארי בין המשתנים: ערך חיובי פירושו קשר לינאריליניארי חיובי. ערך שלילי פירושו קשר לינאריליניארי שלילי (הפוך).
# כאשר ערכו של מקדם המתאם קרוב לאפס הקשר הלינאריהליניארי בין שני המקדמים חלש.
 
יש להדגיש כי גם כאשר ערכו ששל מקדם המתאם קרוב לאפס או אפילו שווה לאפס, אין להסיק מכך כי אין קשר בין שני המשתנים, כיוון שייתכן כי בין המשתנים קיים קשר אחר שאינו לינאריליניארי. לדוגמה: אם ערכי X שווים לערכים השלמים שבין 10- ל-10 (כלומר ערכי X הן 10-, 9-, 8-, וכן הלאה עד 8, 9, 10) ואילו Y שווה ל-X<sup>2</sup> ערכו של מקדם המתאם יהיה שווה ל-0 למרות שברור כי יש קשר בין שני המשתנים. כמו כן, אין להסיק מערכים הקרובים ל-1 או 1- כי קיים [[קשר סיבתי עובדתי|קשר סיבתי]] בין שני המשתנים X ו-Y.
 
== הרחבות ==
קיימות מספר הרחבות למקדם המתאם של פירסון. הידועה שבהם היא [[מקדם ספירמן|מקדם המתאם של ספירמן]], בו מקדם המתאם מחושב על פי הדרגות של המשתנים, כלומר הערך הנמוך ביותר של X מקבל דרגה השווה ל-1, הערך השני הנמוך ביותר מקבל דרגה 2 וכן הלאה. מקדם זה מתאים לאמידת עוצמת הקשר בין שני משתנים הנמדדים בסולם סודר.הפרשנות של ערכי מקדם המתאם של ספירמן דומה לזו של מקדם פירסון. עם זאת, אין להסיק כי כאשר ערך מקדם המתאם של ספירמן שווה ל-1 אזי קיים קשר לינאריליניארי מלא בין המשתנים, אך ניתן להסיק כי קיים בינהםביניהם [[קשר מונוטוני]].
 
כן קיימות הרחבות למתאם חלקי, מתאם מתוקן, מתאם ממושקל, מתאם כאשר המשתנים אינם סימטריים סביב הממוצע שלהם ועוד.