מרחב אוקלידי: הבדלי גרסאות

הוסרו 12 בתים ,  לפני 3 שנים
ז'
מ (בוט החלפות: לעיתים, \1ליניארי)
(ז')
[[קובץ:Coord system CA 0.svg|ממוזער|שמאל|250px|נקודה במרחב האוקלידי התלת-ממדי מוגדרת בעזרת שלוש קואורדינטות.]]
ב[[מתמטיקה]], '''מרחב אוקלידי''' הוא [[הכללה (מתמטיקה)|הכללה]] ל[[ממד (מתמטיקה)|ממד]] כללי של ה[[מישור (גאומטריה)|מישור]] וגם של ה[[מרחב תלת ממדי|מרחב התלת-ממדי]], המשמשים מצע ל[[גאומטריה אוקלידית|גאומטריה האוקלידית]]. מרחבים אוקלידיים נבדלים מן המרחבים העקומים של [[גאומטריה לא אוקלידית|הגאומטריה הלא אוקלידית]]. המונח '''אוקלידי''' נגזר משמו של ה[[מתמטיקאי]] ה[[יוונים|יווני]] [[אוקלידס]].
 
[[מתמטיקה ביוון העתיקה|בגאומטריה היוונית הקלאסית]], המישור האוקלידי והמרחב האוקלידי התלת-ממדי הוגדרו באמצעות מספר [[אקסיומה|אקסיומות]], וכל שאר תכונותיהם נבעו מהן כ[[משפט (מתמטיקה)|משפטים]]. במתמטיקה המודרנית מקובל יותר להגדיר מישור אוקלידי באמצעות [[מערכת צירים קרטזית|מערכת הצירים הקרטזית]] ובאמצעות הרעיונות של [[גאומטריה אנליטית| הגאומטריה האנליטית]]. הגישה הזאת מאפשרת להשתמש בכלים של ה[[אלגברה]] ושל [[חשבון אינפיניטסימלי|החשבון האינפיניטסימלי]] גם בגאומטריה, ויתרונה בקלות החלתה על מישורים אוקלידיים רב-ממדיים.
 
מנקודת המבט המודרנית, יש למעשה רק מרחב אוקלידי אחד בכל ממד: [[הישר הממשי]] הוא המרחב האוקלידי החד-ממדי, [[מישור (גאומטריה)|המישור]] הוא המרחב האוקלידי הדו-ממדי, ובדומה, בממדים הגבוהים יותר, יהיה זה מרחב עם מספר גדול יותר של קואורדינטות ממשיות. כך, [[נקודה (גאומטריה)|נקודה]] במרחב אוקלידי n ממדי היא [[n-יה סדורה]] של מספרים ממשיים, ואת המרחק בין נקודות מחשבים בעזרת '''נוסחת המרחק האוקלידי'''. בדרך כלל מסמנים המתמטיקאים את המרחב האוקלידי ה-n-ממדי ב-<math>\mathbb{R}^n</math>. לפעמים מסמנים אותו ב-<math>\mathbb{E}^n</math> כדי להדגיש את אופיו האוקלידי. הממד של מרחבים אוקלידיים הוא סופי.
 
== מבוא ואינטואיציות ==
 
==המרחב הממשי ה-n-ממדי==
נסמן ב-<math>\mathbb {R}</math> את [[שדה המספרים הממשיים]]. לכל [[מספר שלם]] חיובי <math>\ n</math>, קבוצת כל [[n-יה סדורה|ה-n-יות הסדורות]] של מספרים ממשיים יוצרת מרחב וקטורי <math>\ n</math>-ממדי מעל <math>\mathbb {R}</math> שנהוג לסמן ב-<math>\mathbb{R}^n</math>. לעיתים הוא נקרא '''המרחב הממשי ה-<math>\ n</math>-ממדי'''. איבר ב- <math>\mathbb{R}^n</math> ייכתב כך:
<math display="block">,\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)</math>
כאשר כל <math>\ x_i</math> הוא מספר ממשי.
 
הפעולות ב-<math>\mathbb{R}^n</math> מוגדרות כך:
וכל וקטור ב-<math>\mathbb{R}^n</math> יכול להיכתב כך:
<math display="block">.\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n x_i \mathbf{e}_i</math>
<math>\mathbb{R}^n</math> הוא דוגמה אופיינית למרחב וקטורי ממשי <math>\ n</math>-ממדי. כל מרחב וקטורי ממשי <math>\ n</math>-ממדי <math>\ V</math> הוא [[איזומורפיזם|איזומורפי]] ל-<math>\mathbb{R}^n</math>. אבל האיזומורפיזם איננו קנוני. בחירת איזומורפיזם שקולה לבחירה של [[בסיס (אלגברה)|בסיס]] ל-<math>\ V</math> (מתוך התמונה של הבסיס הסטנדרטי של <math>\mathbb{R}^n</math> ב-<math>\ V</math>). לפעמים נוח לעבוד עם מרחב וקטורי שרירותי שאיננו <math>\mathbb{R}^n</math> כדי לא להתחייב לבסיס מסוים.
 
==המבנה האוקלידי==
הזווית בין '''x''' ו-'''y''' תחושב כך:
: <math>\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}}{\|\mathbf{x}\|\|\mathbf{y}\|}\right)</math>
כאשר cos<sup>&minus;1</sup> הוא [[הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות|הפונקציה ההפוכה]] של פונקציית הקוסינוס. הזווית מוגדרת היטב מכיוון שהארגומנט של ה- cos<sup>&minus;1</sup> קטן או שווה לאחד לפי [[אי-שוויון קושי-שוורץ]].
 
לסיום, אפשר להשתמש בנורמה כדי להגדיר את ה[[מטריקה]] (פונקציית המרחק) ב-<math>\mathbb{R}^n</math> כך:
: <math>\|T\mathbf{x}\| = \|\mathbf{x}\|</math>
 
בשפת ה[[מטריצה|מטריצות]], סיבובים הם [[מטריצה אורתוגונלית|מטריצות אורתוגונליות מיוחדות]].
 
==קישורים חיצוניים==
 
* {{אנציקלופדיה למתמטיקה|Euclidean_space}}
 
258

עריכות