ויקיפדיה

תנועה מעגלית – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
מ סקריפט החלפות (שנייה)
שורה 1:
[[קובץ:Circular motion.PNG|שמאל|ממוזער|220px| כיווני המהירות והתאוצה בתנועה מעגלית]]
ב[[פיזיקה]], '''תנועה מעגלית''' (או '''תנועה סיבובית''') היא [[תנועה (פיזיקה)|תנועה]] של עצם דו או תלת-ממדי ב[[מסלול (פיזיקה)|מסלול]] [[מעגל|מעגלי]]י, סביב נקודה או סביב [[ציר סיבוב]]. עצם המסתובב סביב [[מרכז מסה|מרכז המסה]] שלו נקרא מסתובב סביב עצמו או סביב צירו. תנועה מעגלית נפוצה מאוד ב[[טבע]]. דוגמאות למערכות המתוארות על ידי תנועה מעגלית: [[לוויין]] המקיף את [[כדור הארץ]], מסה מסתובבת הקשורה לחוט מתוח, [[מטען חשמלי]] ב[[שדה מגנטי]] וכוס שמסתובבת, אפילו כשמסובבים אותה בעוצמה חלשה מאוד.
 
==תנועה מעגלית קצובה==
שורה 6:
גודל ה[[תאוצה]] המקיימת תנועה מעגלית קצובה הוא <math>a_R=\omega^2R=\frac{v^2}{R}</math> וכיוונה כלפי [[ציר סיבוב|ציר הסיבוב]] (מרכז המעגל). תאוצת הגוף [[אנך|אנכית]] למהירותו, כך שגודל המהירות בכיוון המשיק למעגל אינה משתנה, אלא רק כיוונה.
מ[[החוק השני של ניוטון]] נובע שגודל הכוח הדרוש לשמור על תנועה מעגלית קצובה הוא: <math>F_r=ma_R=m\omega^2R=\frac{mv^2}{R}</math>. {{ש}}כיוונו ככיוון התאוצה, כלומר לכיוון מרכז המעגל, והוא נקרא [[כוח צנטריפטלי]]. היות שהכח השקול פועל בניצב למהירות הגוף, הוא אינו מבצע [[עבודה (פיזיקה)|עבודה]] וה[[אנרגיה]] נשמרת.<br />
ההעתק הזוויתי שעבר הגוף לאחר זמן t הוא:
<math> \theta = 2 \pi \frac{t}{T} = \omega t\,</math>.
 
שורה 21:
נוח לתאר תנועה מעגלית ב[[קואורדינטות קוטביות]] (על ידי הגדלים r ו-θ), כך שהגוף נמצא במרחק R קבוע ממרכז המעגל ונטוי בזווית משתנה <math>\theta(t)</math> יחסית לציר מסוים.{{ש}}
על מנת למקם את הגוף במישור נעזר בווקטורי היחידה הפולריים המשתנים בזמן: {{ש}}
: <math>\
\begin{matrix}
\hat r(t) = \hat{e}_r(t) & = & \cos(\theta(t)) \hat{x} & + & \sin(\theta(t)) \hat{y} \\
\hat \theta(t) = \hat{e}_\theta(t) & = & - \sin(\theta(t)) \hat{x} & + & \cos(\theta(t)) \hat{y} \\
\end{matrix}
</math>{{ש}}
שורה 36:
\frac {d \hat r } {dt} = -\frac {d \theta } {dt}\sin\theta\hat x + \frac {d \theta } {dt}\cos\theta\hat y = \frac {d \theta } {dt}(-\sin\theta\hat x + \cos\theta\hat y) = \frac {d \theta } {dt}\hat \theta
</math>{{ש}}
נגדיר [[מהירות זוויתית]] <math>\omega(t)</math> כשינוי של הזווית לפי הזמן: <math>\omega(t) = \frac{d\theta}{dt}</math> ולכן: <math>\frac {d \hat r } {dt} = \omega(t)\hat \theta</math>.{{ש}}
'''וקטור המהירות''' המתקבל הוא: <math> \vec v = \omega(t)R\hat \theta </math>{{ש}} כלומר, לגוף אין מהירות בכיוון הרדיאלי אלא רק בכיוון המשיקי, את מהירות זו נכנה '''המהירות המשיקית''' ונסמנה <math>v</math> כך ש-<math>v = \omega(t)R</math>.{{ש}}
התאוצה היא נגזרת וקטור המהירות לפי הזמן: {{ש}}
שורה 49:
 
לסיכום, מתקבלות שלוש משוואות המתארות תנועה בקואורדינטות פולריות. הראשונה, וקטור המיקום: <math>\vec{r}=r\hat{r}</math>, השנייה, וקטור המהירות: <math>\vec{v}=\dot{r}\hat{r}+r\dot{\theta}\hat{\theta}=\dot{r}\hat{r}+r \omega\hat{\theta}</math>, והשלישית וקטור התאוצה: <math>\vec{a}=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\hat{r}+(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\hat{\theta}=(\ddot{r}-r \omega^2)\hat{r}+(2\dot{r}\omega+r\alpha)\hat{\theta}</math>, כאשר:
 
* <math>\vec{r}</math>וקטור המיקום
* <math>r</math>מייצג את המרחק מראשית הצירים שהגדרנו
* <math>\hat{r}</math>וקטור יחידה בכיוון <math>r</math>
* <math>\dot{}</math>מייצג את נגזרות הגודל מעליו הוא נמצא (נקודה אחת מסמלת נגזרת ראשונה, ושתי נקודות, את הנגזרת השניההשנייה)
* <math>\hat{\theta}</math>וקטור יחידה בכיוון <math>\theta</math>
* <math>\vec{v}</math>וקטור המהירות
שורה 61 ⟵ 60:
 
=== שימוש במספרים מרוכבים ===
ניתן לתאר תנועה מעגלית בעזרת שימוש ב[[מספרים מרוכבים|במספרים מרוכבים]], כאשר ציר <math>x</math> יבטא את הציר הממשי וציר <math>y</math> יבטא את הציר המדומה, כך שמיקום הגוף המסתובב יתואר על ידי "וקטור" מרוכב <math>z</math>.
:<math>z = x + iy = R(\cos[\theta(t)] + i \sin[\theta(t)]) = Re^{i\theta(t)}\ </math>
כאשר <math>i</math> הוא [[היחידה המדומה]] ו <math>\theta(t)</math> זו הזווית של המספר המרוכב כפונקציה של הזמן, <math>t</math>.
מכיוון שגודל הרדיוס קבוע:
:<math>\dot{R} = \ddot R = 0 \ </math>
שורה 69 ⟵ 68:
המהירות תהיה:
:<math>v = \dot{z}
= \frac{d\left(R e^{i\theta[t]}\right)}{dt}
= R \frac{d\left(e^{i\theta[t]}\right)}{dt}
= R e^{i\theta(t)} \frac{d(i \theta[t])}{dt}
= iR\dot{\theta}(t) e^{i\theta(t)}
= i\omega R e^{i\theta(t)} = i\omega z
</math>
והתאוצה תהיה:
:<math>\begin{align}
a &= \dot{v} = i\dot{\omega} z + i\omega\dot{z} = \left(i\dot{\omega} - \omega^2\right)z
&=i\dot\omega z -\omega^2 z
\ .
\end{align}</math>
כך שכמו שכבר ראינו כיוון וקטור המהירות מאונך לכיוון ווקטור המיקום, ובמידה והמהירות הזוויתית משתנה בזמן אז ישנה תאוצה משיקית בנוסף על התאוצה צנטרפיטלית.
 
 
==תנועה מעגלית כתופעה מחזורית==
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/תנועה_מעגלית"