קבוצה קומפקטית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 48:
הוכחה:
בכיוון אחד, נניח כי X קומפקטי ויהא F על מסנן. נסמן ב S את החיתוך של כל הקבוצות הסגורות ב F. בגלל קומפקטיות S אינו ריק (שהרי אם היה ריק אזי היה חיתוך סופי ריק בסתירה להגדרת מסנן). ולכן קיים איבר x בחיתוך. כעת ברור כי x הוא גבול של F כי כל סביבה פתוחה שלו שייכת ל F (שאם לא כך, יש סביבה U פתוחה שלא ב F אבל אז המשלים שלה ב F כי F על מסנן והמשלים שלה סגור ולכן x שייך אליו בסתירה לכך שהוא ב U).
בכיוון שני, נניח כי כל על מסנן מתכנס ונוכיח כי המרחב קומפקטי. יהיו <math>\{S_i\}_{i\in I}</math> סגורות כך שכל חיתוך סופי שלהם לא ריק ונראה שהחיתוך של כולם גם לא ריק. אכן, כיוון שכל חיתוך סופי שלהם לא ריק אזי קיים מסנן ולכן על מסנן F שמכיל את <math>\{S_i\}_{i\in I}</math> שלפי הנתון קיים לו גבול x. כעת, x בחיתוך של כולם כי אחרת קיימת <math>S_i</math> ש x לא שייך אליה אזי המשלים של <math>S_i</math> שנסמנו U הוא סביבה פתוחה של x שינו מכיל באף קבוצה של F (שהרי החיתוך עם <math>S_i</math> ריק + תכונת מסנן). סתירה.
| |||