זווית היפרבולית – הבדלי גרסאות

זווית היפרבולית במיקום סטנדרטי היא הזווית ב- <math>(0, 0)</math> בין הקרן ל-שעוברת ב-<math>(1, 1)</math> לקרן ל-שעוברת ב-<math>\left(x, \frac{1/}{x}\right)</math> כאשר x > 1; זווית זו שווה לארקטנגנס ההיפרבולי ההופכי ("ארקטנגנס היפרבולי") <math>\ 2 \arctan^{-1}\left(\frac{x-x^{-1}}{x+x^{-1}}\right)</math>. הזווית ההיפרבולית שלילית כאשר x בין 0 ל-1.

הזווית ההיפרבולית שווה לפעמיים ה[[שטח]] של הגזרה ההיפרבולית המתאימה, השווה ל-<math>\ \ln x</math> (הוכחה תובא בהמשך הערך), בדיוק כשם שהגודל של זווית מעגלית הוא השטח של הגזרה המעגלית המתאימה ל[[זווית מרכזית]] זאת. בניגוד לזווית מעגלית, הגודל של זווית היפרבולית אינו חסום.

נניח ש-''<math>ab'' = 1</math> ו-''<math>cd'' = 1</math> כאשר ''<math>c'' > ''a'' > 1</math>, כך שהנקודות <math>(''a'',&nbsp;'' b'')</math> ו- <math>(''c'',&nbsp;'' d'')</math> מגדירות אינטרוול על ההיפרבולה ''xy'' = 1. יש [[העתקה אפינית]] [[העתקה משמרת שטח|משמרת יחידהשטח]] {{אנ|Equiareal map}} הממפה את האינטרוול הזה לאינטרוול בין <math>(1,&nbsp; 1)</math> ל-<math>(''bc'',&nbsp;'' ad'')</math>. חשבון שטחים פשוט מראה שהשטח תחת ההיפרבולה באינטרוול זה הוא גם השטח של הגזרה ההיפרבולית המתאימה לנקודות <math>(1,&nbsp; 1)</math> ו-<math>(''bc'',&nbsp;'' ad'')</math>. לפי תוצאה של [[גרגואיר דה סנט וינסנט]], לשטח זה תכונות לוגריתמיות{{הבהרה}}.

== השוואההקבלה עם זוויתלזווית מעגלית ==

זוויות מעגליות ניתנות לאפיון באופן גאומטרי באמצעות התכונה שאם לשני [[מיתר (גאומטריה)|מיתר]]ים ''P''<submath>0P_0 P_1</sub>''P''_{1</submath> ו-''P''<submath>0P_0 P_2}''P''_{2</submath> מתאימות זוויות ''L''<submath>1L_1</submath> ו-''L''<submath>2L_2</submath> במרכז המעגל, אז הסכום שלהן ''L''<submath>1L_1</submath> + ''L''<submath>2L_2</submath> הוא הזווית המרכזית המתאימה למיתר ''P''<submath>0P_0 Q</submath>''Q'' שמקביל ל-''P''<submath>1}''P''<sub>2P_1 P_2</submath>.

אותה הבניה נכונה גם להיפרבולה.: אם ''P''בוחרים <sub>0</submath>P_0 נלקחת כנקודה= (1, 1)</math>, ''P''<sub>1</submath>P_1 כנקודה= \left(''x''₁x_1, \frac{1/''x''<sub>1}{x_1}\right)</submath>) ו-''P''<sub>2</submath>P_2 כנקודה= \left(''x''₂x_2, \frac{1/''x''<sub>2}{x_2}\right)</submath>), אז באמצעות חישוב [[שיפוע]]ים ניתן להראות שתנאי ההקבלה מכתיב ש-''<math>Q''</math> תהא הנקודה (''x''₁''x''<sub>2</submath>\left(x_1 x_2, \frac{1/''x''<sub>1}{x_1 x_2}\right)</submath>1/''x''₂). נקודה זאת מתקבלת גם מהגדרת הזווית ההיפרבולית כפונקציה לוגריתמית; הנקודה המתאימה לסכום הזוויות ההיפרבוליות שמתאימות לנקודות ''P''<submath>1P_1</submath> ו-''P''<submath>2P_2</submath> היא, לפי הזהות <math> \ln (x_1) + \ln (x_2) = \ln (x_1x_2) </math>, הנקודה (''x''₁''x''<sub>2</submath>\left(x_1 x_2, \frac{1/''x''<sub>1}{x_1 x_2}\right)</submath>1/''x''₂) .

תלמידו של גרגואיר, A. A. de Sarasa, פירש מחדש את השטח הזה כלוגריתם והגדיר באופן גאומטרי את הלוגריתם הטבעי. כאחת הדוגמאות הראשונות לפונקציות טרנסצנדנטיות, הלוגריתם מפורסם יותר מהקונספטמהרעיון שהתניע את גילויו, דהיינו הזווית ההיפרבולית.

ב-1914 פרסם Ludwik Silberstein פרסם את חיבורו על [[תורת היחסות הפרטית|תורת היחסות]] החדשה, ובו הוא נתן פרשנות לתורה המתבססת על מושג הזווית ההיפרבולית. בהמשך לעבודתו של [[הרמן מינקובסקי]] על האיחוד המתמטי של המרחב והזמן, Silberstein הראה שניתן לפרש את [[טרנספורמציות לורנץ]] כסיבוב בזווית היפרבולית של קואורדינטות ה[[מרחב -זמן]]; לאחר שמגדירים זווית היפרבולית a המקיימת tanh a = v/c, טרנספורמציות לורנץ למעשה מזיזות את הקואורדינטות המרחב-זמניות של אירוע לאורך היפרבולת האינטרוול <math> c^2t^2 - x^2 = 1 </math> ({{ביאור|או פשוט <math> t^2 - x^2 = 1 </math> כאשר מכייליםמנרמלים את [[מהירות האור]] ל-c =להיות 1).}} כאשר מערכת הייחוס משתנה. הזווית ההיפרבולית המוגדרת בדרך זאת מסייעת להבחין בין מערכות ייחוס הנמצאות במהירות יחסית אחת לשנייה, וניתן להראות את העקביות של הגדרת <math> \beta </math> בדרך זאת: