הבדלים בין גרסאות בדף "חתך חרוט"

נוספו 1,242 בתים ,  לפני שנה
מ (בוט החלפות: \1ליניארי)
[[קובץ:Secciones Conicas.png|250px]]
|}
ב[[גאומטריה פרויקטיבית]], בהינתן שתי אלומות ישרים שביניהן [[התאמה פרויקטיבית]], המקום הגאומטרי של חיתוך הישרים שמועתקים זה לזה הוא חתך חרוט.
כל אחד מחתכי החרוט ניתן לתיאור באמצעות [[משוואה ממעלה שנייה|משוואה אלגברית ממעלה שנייה]]. ולהפך: [[מקום גאומטרי|המקום הגאומטרי]] של הפתרונות למשוואה אלגברית ממעלה שנייה בשני נעלמים הוא חתך חרוט, או (במקרים מנוונים): זוג ישרים, [[ישר]], [[נקודה (גאומטריה)|נקודה]] או [[הקבוצה הריקה]].
 
על פי [[משפט פסקל]], כל חתך חרוט נקבע באופן ייחודי באמצעות חמש נקודות שעליו, או באופן שקול, לכל חמש נקודות ישנו בדיוק חתך חרוט אחד שעובר דרך כולן. עם זאת במקרה של מעגל מספיקות שלוש נקודות, ובמקרה של פרבולה מספיקות ארבע נקודות.
חתכי החרוט ניתנים להגדרה גם כמקומות הגאומטריים הבאים:
 
== הגדרות שקולות לחתכי חרוט ==
לחתכי חרוט יש מספר הגדרות שונות, אבל כולן שקולות אחת לשנייה, כולן מביאות לאותן הצורות. ההגדרות הן:
1. כל צורה הנוצרת מחתך של מישור וחרוט
2. היפרבולות, פרבולות, אליפסות, מעגלים, 2 ישרים, ישר ונקודה.
3. בהינתן קבועים a,b,c,d,e,f, חתך חרוט הוא אוסף כל הנקודות במישור המקיימות את המשוואה <math>ax^2 +bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0</math>, כלומר עקום ממעלה שנייה (בדומה לכך, [[ישר]] הוא עקום ממעלה ראשונה ו[[עקום אליפטי]] הוא עקום ממעלה שלישית)
4. בהינתן ישר (המדריך) ונקודה (המוקד), חתך חרוט הוא אוסף כל הנקודות כך שיחס המרחק שלהן מהמוקד ומהמדריך הוא קבוע.
 
חשוב לציין, כי לכל ההגדרות יש מקרים מנוונים. ההגדרה השלישית מאפשרת ל[[הקבוצה הריקה|קבוצה הריקה]] להיות חתך חרוט, וההגדרה הרביעית לא מאפשרת למעגלים להקרא חתוך חרוט (פרט למקרה המנוון שבו היחס הוא 0, ואז חתך החרוט הוא רק המוקד, שזה גם מעגל).
 
ההגדרה השניה נבדלת מההגדרה הראשונה, בכך שכל המושגים המוזכרים מוגדרים בצורה שונה.
* אוסף הנקודות, הנמצאות ב[[מרחק]] קבוע מנקודה נתונה – הוא [[מעגל]].
* אוסף הנקודות, ש[[סכום]] מרחקיהן משתי נקודות נתונות הוא קבוע – הוא [[אליפסה]].
* אוסף הנקודות, שמרחקן מנקודה נתונה שווה למרחקן מ[[ישר]] נתון – הוא [[פרבולה]]. נשים לב כי זה אומר לנו שאפשר להגדיר פרבולה בקלות בהגדרה 4, כשהיחס הוא 1.
* אוסף הנקודות, ש[[חיסור|הפרש]] המרחקים שלהן משתי נקודות נתונות קבוע – הוא [[היפרבולה]].
 
הוכחה של שקילות ההגדרות הראשונה והשניה מובאות בהמשך. קיימת עוד הוכחה הנקראת כדורי דנדלין.
ב[[גאומטריה פרויקטיבית]], בהינתן שתי אלומות ישרים שביניהן [[התאמה פרויקטיבית]], המקום הגאומטרי של חיתוך הישרים שמועתקים זה לזה הוא חתך חרוט.
 
על פי [[משפט פסקל]], כל חתך חרוט נקבע באופן ייחודי באמצעות חמש נקודות שעליו, או באופן שקול, לכל חמש נקודות ישנו בדיוק חתך חרוט אחד שעובר דרך כולן. עם זאת במקרה של מעגל מספיקות שלוש נקודות, ובמקרה של פרבולה מספיקות ארבע נקודות.
 
== פיתוח גאומטרי קלאסי של תכונות חתכי החרוט ==